Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

• Dans ce séminaire de cinq séances, nous ferons une introduction à l’approche algébrique de la mécanique quantique et à la logique quantique. Cette approche fournit un cadre formel permettant de poser et traiter de façon rigoureuse presque tous les problèmes d’interprétation et de fondements. De plus, elle ne se restreint pas à la mécanique quantique non relativiste et peut être étendue à la théorie quantique des champs, fournissant ainsi une formulation axiomatique. Enfin, elle permet de mettre en place un cadre formel pour l’étude de la théorie des probabilités généralisée, qui inclut les probabilités quantiques et de Kolmogorov comme cas particuliers.
  
  Nous introduirons d’abord les notions de mesure spectrale (Projective valued measure) et de POVM (positive operator valued measure) et aborderons quelques notions élémentaires de la théorie des treillis. Ensuite, nous étudierons les relations entre les algèbres de Von Neumann et la théorie des treillis et les problèmes sur les probabilités quantiques que Von Neumann a posé. En particulier, nous regarderons la théorie de probabilité non-commutative et l’approche opérationnelle convexe aux théories statistiques.
  
  Ceci sera fait dans les premières trois séances, laissant les deux dernières ouvertes pour la discussion de sujets inspirés des questions et problèmes qui auraient surgis pendant le séminaire.
  
  
  Bibliographie :
  M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, and R. Greechie, Reasoning in Quantum Theory (Kluwer Acad. Pub., Dordrecht, 2004) ; G. Kalmbach, Orthomodular Lattices (Academic Press, San Diego, 1983) ; M. Redei “The Birkhoff-von Neumann Concept of quantum Logic" ; E. G. Beltrametti and G. Cassinelli, The Logic of Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1981) ; M. Rédei, Quantum Logic in Algebraic Approach (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, (1998) ; S. P. Gudder, Stochastic Methods in Quantum Mechanics (North Holland, New York – Oxford 1979) ; G. Mackey, Mathematical foundations of quantum mechanics (New York : W. A. Benjamin, 1963) ; V. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory I (van Nostrand, Princeton, 1968).

13/03/2013 – 29/03/2013 Introduction à la Gravitation Quantique Canonique

par Federico Zalamea

• La théorie de la Gravitation Quantique Canonique se base principalement sur deux idées : d’une part, le rapprochement entre la Relativité Générale et les Théories de Yang-Mills (en considérant que l’objet dynamique fondamental de le théorie de l’espace-temps est une connexion plutôt qu’une métrique) ; d’autre part, le programme de quantification de Dirac pour un système Hamiltonien (appelé Refined Algebraic Quantization dans sa version moderne). Le but de ce cours est de présenter les premières étapes dans la construction de cette théorie, en essayant d’être attentifs aux structures mathématiques qui y apparaissent et aux concepts qui semblent jouer un rôle important. Plus particulièrement, on montrera d’abord comment les variables de Ashtekar (qui constituent le point de départ de la Gravité Quantique Canonique) apparaissent naturellement dans le cadre de la théorie des connexions de Cartan. Ensuite, on appliquera la procédure de Dirac pour construire l’espace des états quantiques et on introduira la notion de réseaux de spin.
  
  
  Bibliographie : S. Gielen and D. Wise, Lifting General Relativity to Observer Space, arXiv:1210.0019 ; T. Thiemann, Lectures on Loop Quantum Gravity, arXiv:gr-qc/0210094 ; A. Ashtekar, Background Independent Quantum Gravity : A Status Report, arXiv:gr-qc/0404018

13/02/2013 – 06/03/2013 Algèbre de Clifford et Spineurs

par Corentin Le Fur

• Les Spineurs constituent des entités mathématiques d’une grande complexité et sont présents dans de très nombreux domaines de la physique théorique et mathématique contemporaines. Sous leur forme mathématique, les spineurs ont été introduits par Elie Cartan en 1913 au cours de ses recherches sur les représentations de groupe. Le mot « Spineur », quant à lui, a vraisemblablement été utilisé pour la première fois par Ehrenfest et c’est Wolfgang Pauli qui inaugura son utilisation en physique mathématique en 1927.
  
  Cet ensemble de leçons aura deux buts principaux : d’une part, construire mathématiquement le plus rigoureusement possible la notion de spineur et d’autre part, favoriser l’émergence d’une réflexion conceptuelle et philosophique sur cette même notion.
  
  Nous débuterons le cours par l’étude approfondie des algèbres de Clifford définies par des formes quadratiques, en examinant quelques cas particuliers. Puis, sur la base de ces acquis, nous aborderons les groupes orthogonaux et les groupes spin qui nous permettront d’aboutir au concept d’espace de spineurs. Les structures algébriques fondamentales (Monoïde, Groupe, Anneau, Corps, Algèbre...) seront supposées connues.

18/01/2013 – 06/02/2013 Introduction aux algèbres de Hopf

par Julien Page

• Les algèbres de Hopf définissent une structure algébrique très riche, qui intervient dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique mathématique, notamment dans le cadre de la géométrie non-commutative. On montrera que cette notion prolonge la dualité de Pontryagin pour la catégorie des groupes finis commutatifs en permettant ainsi de résoudre un défaut de dualité de la catégorie des groupes finis. On montrera ensuite en quoi cette structure algébrique généralise naturellement la structure de groupe et la notion concomitante de symétrie (comme structure algébrique, par sa disposition d’une notion généralisée d’ "inverse", par ses "actions" sur des objets mathématiques, par les "intégrales" qu’elle permet, etc.). Finalement, on utilisera cette structure algébrique pour analyser la notion de dualité, notamment la dualité (essentielle en physique) entre un espace d’états et l’algèbre d’observables sur ledit espace.
  
  On supposera connues les notions mathématiques suivantes : groupe, anneau, corps, module, espace vectoriel, algèbre, produit tensoriel, morphisme, catégorie, foncteur.
  
  
  Bibliographie : on suivra pour commencer le fil du texte téléchargeable ici : http://math.univ-bpclermont.fr/~bichon/GrQu.pdf et on se référera au début du livre de Shahn Majid : Foundations of Quantum Group Theory, Cambridge University Press, 2000.

12/12/2012–09/01/2013 Sur la théorie des connexions de Cartan et sa pertinence par rapport à la physique de l’espace-temps

par Gabriel Catren

• Tandis que les connexions d’Ehresmann sont la contrepartie géométrique des “champs de jauge” de la théorie de Yang-Mills (théorie qui fournit une description géométrique des interactions électromagnétique et nucléaires), les connexions de Cartan permettent de reformuler (et de généraliser) la relativité générale de façon telle que la variable fondamentale ne soit pas la métrique de l’espace-temps mais plutôt une connexion. Cette reformulation permet de revisiter sous une nouvelle lumière le projet de comprendre la relativité générale comme une « théorie de jauge », c’est-à-dire comme une théorie qui décrit une connexion dynamique dans un espace fibré sur l’espace-temps. On montrera de quelle façon la théorie de la relativité générale (et plus généralement la théorie d’Einstein-Cartan) résulte de la « localisation » du groupe affine (Poincaré, de Sitter ou anti-de Sitter) qui agit de façon transitive sur la solution de la théorie dans le vide.