Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

CONTEXT
This study day, the second on this theme, will focus on variations in ancient texts as well as in current teaching practices. The March 13, 2017, date of the first part of the study, we had in fact focused in history on the series of problems which present "small variations" : problems possessing a common model, solution or statement. Alain Bernard, historian of mathematics, had posed the question of the limit between “strong resemblance” and “disparate character” in the series of problems in history. Marie-Jeanne Perrin, mathematician, had shed a didactic light on the notions of didactic variable and assortment (Esmenjaud-Genestoux, 2001*), notions which were then reused by Charlotte de Varent, educator and historian of mathematics, in the historical analysis of ancient texts in cuneiform. This one had raised the question of possible pedagogical intentions in the choice of numerical values, in old mathematical problems comprising very similar statements. Katalin Gosztonyi, didactician and historian of mathematics, presented a case study, around the work of the Hungarian educator Varga. She had introduced the problem of using the notion of "didactic variables" in a text presenting both a historical character and a reflection on education. Pascal Crozet, historian of mathematics, had finally approached precautions in historical analysis by studying the subject of series of problems comprising more "great variations". The purpose of this new day is to extend our study even further in two mutually enriching directions in an interdisciplinary way, in the history of science and in didactics

* Esmenjaud-Genestoux, F. (2001). Médiation entre la classe et le travail à la maison : le rôle des assortiments. In Actes du Séminaire national de Didactique des Mathématiques, équipe DIDIREM, Université Paris 7, Paris

ABSTRACT
First, we will tackle the question of variations from the point of view of historical analyzes, in the series of problems, an approach developed in particular within the framework of the HASTEC project. It will be a question, with Alain Bernard, of the way in which these problems involving variations have led the group to develop various methodologies to historically analyze the texts in the particular context of the series of problems. Katalin Gosztonyi brought the analysis in the history of education to a working group with teachers inspired by Varga, in relation to their practice of problem sets. By studying the way in which teachers who follow this approach organize their trajectories, she develops tools to access their implicit choices, at the crossroads of history and the analysis of practices. The historical analyzes by Katalin Gosztonyi and Charlotte de Varent therefore led them to take an interest in different methodological tools in didactics. A meeting with Luxizi Zhang and Luc Trouche on January 7, 2019 in Lyon then led the group to share different approaches to variations, encountered in didactics and history. Some will be presented by Luxizi Zhang around Chinese and French approaches, both theoretically and in connection with teaching practices. Luc Trouche will bring together different points of view of analysis of variations in a summary communication which will allow methodological and theoretical reflection, while making the link with practice ; tackling the question of variation, the relations of teachers to resources.

• Alain Bernard (UPEC, Centre Koyré et HASTEC)
  Le projet de recherche “séries de problèmes” : pourquoi et comment
  Dans le cadre du projet de recherche historique et anthropologique « série de problèmes » développé dans le cadre de HASTEC (pour plus de détails, voir les contributions dans la version en ligne), nous avons porté notre attention, parmi d’autres recueils de problèmes ou de questions, sur des traités à contenu mathématique. À cette fin, nous avons développé diverses méthodologies pour analyser ces textes, axées sur leur organisation, leur intentionnalité (lorsqu’elle est présente ou démontrable) et leur objectif. Compte tenu de la particularité des textes et de la diversité de leurs contextes culturels, chaque texte étudié mérite généralement sa propre approche, même s’il existe des problèmes communs à tous. Je prendrai comme exemple celui la manière dont on peut aborder dans cette optique le traité des Elements de Géométrie de Clairaut (1741) , que Katalin Gosztonyi et moi-même avons étudié.
  • Bernard, Alain, Jean Christianidis, Giovanna Cifoletti, Jean-Marie Coquard, Katalin Gosztonyi, Stéphane Lamassé, Caroline Macé, et al. Les séries de problèmes, un genre au carrefour des cultures. Édité par Alain Bernard. Vol. 22, 2015.
  • http://www.shs-conferences.org/articles/shsconf/abs/2015/09/contents/contents.html.
  • Bernard, Alain (2022 ?) "Les Eléments de géométrie de Clairaut : rupture ou héritage" ? à paraître dansPhilosophia Scientiae, n° thématique "Patrimonialisation en mathématiques (18e-21e siècles)"

• Gosztonyi Katalin (Université Eötvös Loránd de Budapest, Mathematics Teaching and Education Centre)
  Séries de problèmes dans l’enseignement des mathématiques hongrois : traditions écrites et pratiques enseignantes
  Les séries ordonnées de problèmes jouent un rôle crucial dans l’approche hongroise de l’enseignement par démarche inductive. Les enseignants qui suivent cette approche organisent leurs trajectoires d’enseignement sur la base de problèmes liés entre eux de différentes manières et ordonnés selon des choix didactiques complexes. Cependant, la logique derrière cette structuration reste implicite dans la plupart des cas. Pour révéler ces éléments cachés, j’ai analysé d’une part des documents historiques de la culture mathématique et de l’enseignement des mathématiques hongrois, qui illustrent différents principes possibles de l’organisation de séries de problèmes. D’autre part, j’analyse les processus de documentation des enseignants, en développant des outils pour accéder à leurs choix implicites.

• Luxizi Zhang, (S2HEP, ENS de Lyon et ECNU, Shanghai)
  Des variations potentielles aux variations pratiques dans l’enseignement des fonctions à travers une série de problèmes : approche contrastée des cas chinois et français
  Le fait d’enseigner et apprendre les mathématiques par la variation a une longue histoire en Chine et est utilisé consciemment ou inconsciemment par les enseignants (Bao et al., 2003). Pour comprendre et analyser la situation de l’enseignement par la variation en France et en Chine, nous avons proposé un modèle de variation basé sur différents cadres théoriques, en particulier (Brousseau,1986 & Gu et al., 2004) et nous avons mis à l’épreuve ce modèle en étudiant le travail documentaire des enseignants pour l’enseignement des fonctions numériques. Le but de cette étude est de mieux comprendre le rôle des variations dans l’enseignement des mathématiques, en accordant une attention particulière à la conception des ressources (Trouche, et al., 2019). Nous étudierons la transformation de la variation potentielle en variation pratique, en visant l’amélioration de l’efficacité de l’enseignement. Dans ce séminaire, à travers l’analyse et la comparaison de deux épisodes de classe (un en Chine et un en France), nous nous sommes concentrés sur la manière dont les enseignants peuvent utiliser la variation pour les aider à concevoir une série de problèmes mathématiques adaptés àleurs objectifs pédagogiques.
  • Bao, J., Huang, R., Yi, L., Gu, L. (2003). Continued study of “Bianshi Jiaoxue” [Teaching with
    variation]. Mathematics Teaching, 2, 6-10.
  • Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Recherches
    en didactique des mathématiques, 7(2), La pensée sauvage.
  • Gu, L., Huang, R., Marton, F. (2004). Teaching with variation : A Chinese way of promoting
    effective mathematics learning. In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, S. Li (Eds.), How Chinese learn
    mathematics : Perspectives from insiders (pp. 309–347). Singapore : World Scientific.
  • Gueudet, G., Trouche, L. (2009). Towards new documentation systems for mathematics
    teachers ? Educational Studies in Mathematics, 71(3), 199-218.
  • Trouche, L., Gueudet, G., Pepin, B. (2019). The ‘resources’ approach to mathematics
    education (Eds.). Springer series Advances in Mathematics Education. Cham : Springer.

• Luc Trouche (S2HEP, ENS de Lyon)
  Les variations au cœur du travail documentaire du professeur
  La notion de variable didactique (Brousseau 1998) est au cœur de la théorie des situations, et des approches didactiques de l’enseignement des mathématiques en France. Elle permet de comprendre les éléments, dans la formulation des problèmes posés aux élèves, dont le changement peut influer sur leur activité, et donc sur les apprentissages liés (De Varent 2018). Nous proposerons, dans cet exposé, d’aborder les variations sous un angle plus large, en relation avec la culture chinoise des variations dans l’enseignement des mathématiques (Zhang 2019) : les variations dans la résolution d’un même problème comme source d’approfondissement conceptuel (Trouche et al. 1998) ; et les variations dans le travail documentaire des professeurs, via les processus d’instrumentation et d’instrumentalisation (Trouche et al. 2020) qui jouent respectivement sur l’organisation de leur travail et sur l’organisation de leurs ressources.
  • Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La pensée sauvage.
  • De Varent, C. (2018). Pluralité des concepts liées aux unités de mesure : liens entre histoire des sciences et didactique, le cas de l’aire du carré dans une sélection de textes anciens. Thèse Université Sorbonne Paris Cité https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02411352/document.
  • Trouche, L., Gueudet, G., & Pepin, B. (2020). Documentational approach to didactics. In S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (2nd edition, pp. 307-313). Cham : Springer. doi : 10.1007/978-3-319-77487-9_100011-1
  • Trouche, L. et 37 élèves d’une classe de terminale S (1998). Faire des mathématiques avec des calculatrices symboliques, conjecturer et prouver. 37 variations sur un thème imposé, IREM, Université Montpellier 2.
  • Zhang, L. (2019). Potential, actual and practical variations for teaching functions : Cases study in China and France. Proceedings of the Varga 100 Conference. Budapest, Hungary.

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