Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

7 février 2022, 9:30 - 13:30, salle Rothko, 412B, hybride

: : Figures fondamentales

Séance organisée par A. Keller et K. Chemla

• 9:30 - 9:45 : Karine Chemla (CNRS, SPHere)
  Introduction

• 9:45 - 11:00 : Nicolas Michel (Institut de mathématiques, Université d’Utrecht, & SPHere)
  Points, rayons, plans. Les figures fondamentales dans la géométrie énumérative de Schubert
  A la suite des travaux de Jakob Steiner, une riche tradition de géomètres de langue allemande a cherché à subordonner l’étude des propriétés de toute figure, aussi complexe soit elle, à celle des relations entre quelques figures dites fondamentales, telles que la droite ou le pinceau de plans. Ce fut notamment le cas de Hermann Schubert, qui reprit à son compte cette approche lors de la genèse de son célèbre "calcul énumératif" dans les années 1870. Dans cet exposé, nous montrerons comment Schubert a procédé à la réduction de plusieurs figures géométriques (courbes algébriques, polyèdres, etc.) à des systèmes de points, rayons, et de plans. Nous verrons ensuite comment Schubert s’est servi de cette réduction pour construire une algèbre des conditions géométriques susceptibles d’être satisfaites par les figures fondamentales, et dont les règles de calcul peuvent être généralisées aux figures plus complexes ainsi formées.

• 11:00 - 11:15 pause

• 11:15 - 12:30 : Eric Vandendriessche (CNRS, SPHere & Université Paris Cité)
  Figures fondamentales dans des pratiques (ethno-)mathématiques (dessin sur le sable, tressage de nattes, jeu de ficelle)
  Des études ethnomathématiques récentes ont mis au jour le caractère mathématique de certaines activités procédurales/techniques (dessin sur le sable, tressage de nattes, jeu de ficelle…) pratiquées dans différentes sociétés autochtones, mélanésiennes notamment, où prédomine l’oralité. Si ces pratiques impliquent la création et la mise en œuvre d’algorithmes i.e. séquences ordonnées d’opérations spatiales, elles visent dans le même temps à élaborer et à combiner diverses figures « géométriques », constitutives de l’artefact réalisé. Dans cet exposé, nous verrons que certaines de ces « figures » (i.e. motifs, nœuds, entrelacements/ configurations de fils, etc.) ont des rôles et des propriétés spécifiques, et peuvent en ce sens être analysées comme des « figures fondamentales » propres à ces différentes pratiques (ethno-)mathématiques.

12:30 - 13:15 Table ronde, ouverte par :

• Adeline Reynaud (Université Paris Cité, ED 623, SPHERE, & ArScAn-HAROC)
  « Clous » et « têtes de bœufs » : quelques réflexions sur les triangles et les trapèzes dans les mathématiques paléo-babyloniennes
  Plusieurs indices de différentes natures laissent penser que les termes de « triangle » (qui désigne aussi le « clou cunéiforme ») et « trapèze » (qui signifie littéralement « tête de bœuf ») employés dans de nombreux textes de procédure produits en Mésopotamie au début du deuxième millénaire avant notre ère véhiculaient pour les acteurs plus d’informations que la simple évocation d’un triangle ou d’un trapèze tels que nous nous les représentons. Dans cette brève présentation, je tenterai de croiser des indices tirés de la lecture des textes et de l’observation des diagrammes pour soulever un certain nombre de questions relatives à la manière dont ces deux figures de base étaient pensées et manipulées : étaient-elles conçues comme des ensembles de lignes ou comme des étendues ? existaient-elles sous la forme que nous qualifierions aujourd’hui de « quelconque » ou étaient-elles au contraire toujours implicitement particulières ? avaient-elles une orientation tacite, et quelles conséquences cela avait-il ? que recouvrait exactement le vocabulaire technique qui leur était attaché ? quelles contraintes celui-ci induisait-il sur les dimensions qu’elles pouvaient avoir ? etc.

• Karine Chemla (CNRS, SPHere & Université Paris Cité)
  Figures fondamentales et démonstration : Réflexions à partir du rectangle
  Le rectangle m’apparaît avoir joué le rôle d’une figure fondamentale pour les commentateurs des Neuf Chapitres et ils se faisaient sans doute en cela l’écho des auteurs du classique. Quels arguments peut-on avancer en faveur de ces thèses, et en quel sens, alors, le rectangle fut-il pensé comme une figure fondamentale ? C’est à partir de ces questions que je proposerai quelques réflexions en vue d’amorcer la table ronde.

7 mars 2022, 9:30 - 13:00, salle Rothko, 412B, hybride

: : Contre-histoires des imaginaires

Séance organisée par S. Confalonieri (Université Paris Cité, HPS, & SPHere), D. Rabouin (CNRS, SPHere, & projet Erc Philiumm)

• 9:30 : Introduction (David Rabouin)

• 10:00 : Siegmund Probst (Hannover)
  Imaginary numbers in the mathematical papers of Leibniz (1672-1676)
  In recent years, topics concerning imaginary numbers in Leibniz’s thought, have been addressed in several studies. Some of them are motivated by the fact that imaginary numbers are often used by Leibniz as examples in a philosophical context, some study their role in the mathematical development of Leibniz and in the history of mathematics. My talk will give an overview on this research and present examples from the Paris years of Leibniz. Many of his most interesting notes resulted from meetings with Tschirnhaus.
  • ANR « Mathesis » : "Présentation des manuscrits", in : Philosophia Scientiæ, 25(2), 2021, 133–154
    https://doi.org/10.4000/philosophiascientiae.3068
    Breger, Herbert : "Problems of mathematical existence in Leibniz", in : Arnaud Pelletier (ed.), Leibniz and the aspects of reality, Stuttgart : Franz Steiner Verlag, 123-138
  • Mayer, Uwe : " ’Neither unuseful nor absurd when rightly understood’ – Imaginäre Zahlen und ihre Darstellung bei Wallis, Tschirnhaus und Leibniz", in : Wolfgang Hein / Peter Ullrich (eds.), Mathematik im Fluß der Zeit, Augsburg : Rauner, 2004, 172–187
    Ottaviani, Osvaldo : "Leibniz’s Imaginary Bridge. The Analogy between Pure Possibles and Imaginary Numbers in the Paris Writings", in : Oxford Studies in Early Modern Philosophy, Volume X, 2021, 133-167
    DOI : 10.1093/oso/9780192897442.003.0005
    Sauer, Tilman Sauer / Klaedtke, Gabriel : "Eine Leibnizsche Identität", in : Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik, 10 (2018), 115-130
    http://doi.org/10.25358/openscience-157

• 11:00 pause

• 11:15 : Azmyia Padavia (Université Paris Cité, ED 623, SPHere)
  L’interprétation de la présence de racines imaginaires chez Newton
  Newton établit dans les années 1665 – 1666 une règle inspirée de la règle des signes de Descartes et qui sera par la suite publiée dans l’Arithmetica Universalis lui permettant de déterminer une borne inférieure du nombre de racines imaginaires d’une équation. Dans cet exposé, nous nous intéressons à l’image des racines imaginaires que donne Newton à travers cette règle, et plus particulièrement à l’interprétation des racines « impossibles positives » et « impossibles négatives ».

• 12:15 - 13:00 : Table ronde (Sara Confalonieri et David Rabouin)

11 avril 2022, 9:30 - 13:00, salle Rothko, 412B, hybride

: : Expériences et expérimentations en mathématiques

Séance organisée par Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, ÉNS-CNRS)

• 9:30 : Introduction

• 9:45 - 11:00 : Catherine Goldstein (IMJ-PRG)
  Expérimentations mathématiques au cours du XIXe siècle
  Malgré une opinion fréquemment affirmée que le XIXe siècle est celui où les calculs cèdent la place aux concepts et aux structures intrinsèques, on y rencontre cependant de nombreux appels à considérer les mathématiques comme une science naturelle, avec ses observations et expérimentations, et des travaux manifestant concrètement les exigences créées sur la pratique des mathématiques par ce point de vue. Dans l’exposé, je voudrais détailler quelques cas afin d’évaluer les échelles et les moments où ces exigences sont appliquées. Je reviendrai ensuite sur les problèmes que pose la prise en compte du rôle de l’expérimentation mathématique sur le long terme.
  • Quelques pistes bibliographiques
    – D. H. Bailey & J. Borwein. 2001. “Experimental Mathematics : Recent Developments and Future Outlooks”, in B. Enquist \& W. Schmid (eds.), Mathematics Unlimited : 2001 and Beyond, Berlin, Springer, pp. 51-66.
    – N.D. Goodman. 1981. “The Experiential Foundation of Mathematical Knowledge”, History and Philosophy of Logic, 2 (1981), 55-65.
    – J. Echeverria. 1992. “Observations, problems and conjectures in number theory : the history of the prime number theorem”, in J. Echeverria, A. Ibarra and T. Mormann (eds.), The Space of Mathematics, New York, De Guryter, pp. 230-252.
    – J. Echeverria. 1996. “Empirical Methods in Mathematics. A Case-study : Goldbach’s conjecture”, in G. Munevar (ed.), Spanish Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht, Kluwer, pp. 19-55.
    – C. Goldstein. 2008. “How to Generate Mathematical Experimentation and Does it Provide Mathematical Knowledge ?”, in U. Feest, G. Hon, Hans-Joerg Rheinberger, Jutta Schickore, Friedrich Steinle (eds.), Generating Experimental Knowledge, Berlin, Max Planck Institute for the
    History of Science, pp. 61-85.
    – C. Goldstein. 2011. “Les mathématiques comme science d’observation : les convictions de Charles Hermite”, in F. Ferrara F., L. Giacardi, M. Mosca (ed.), Associazione Subalpina Mathesis Conferenze e seminari 2010-2011, Torino, K.Peacock’s Arithmetic Williams, 2011, 147-156.
    – T. S. Kuhn. 1976. “Mathematical versus Experimental Traditions in the Development of Physical Science”, The Journal of Interdisciplinary History 7, 1-31 ; repr. in The Essential Tension, Chicago, London, University of Chicago Press, 1977, pp. 31-65.
    – I. Lakatos. 1967. “A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics”, in Problems in the Philosophy of Mathematics, Amsterdam, North-Holland, pp. 199-202.

• 14:00 - 15:15 Arilès Remaki & David Rabouin, (CNRS, SPHere, & Erc Philliumm)
  Mathématiques et expérience chez Leibniz
  Contrairement à ce que pourrait laisser penser l’image d’un Leibniz « logiciste », pour lequel toutes les mathématiques doivent dériver du seul principe d’identité, on trouve sous la plume du philosophe de nombreuses références au rôle de l’expérience en mathématiques. Ces indications, auxquelles on essayera de donner sens, s’accordent avec une pratique de mieux en mieux connue et dont la dimension expérimentale est très marquée. Dans la seconde partie de l’exposé, on présentera des exemples de cette pratique « expérimentale » sur le cas du travail sur les tables. Ces exemples sont abordés selon une méthode au carrefour entre approche matérielle et analyse conceptuelle. Cela nous permettra de faire état de la manière dont discutent pratiques, théorie et ambition chez Leibniz, au sein de cette catégorie qu’est l’« induction » mathématique.

• 11:15 - 12:30 Viviane Pons (LRI, Univ. Paris Saclay)
  Expérimentation manuelle et par ordinateur dans la recherche en combinatoire
  En tant que chercheuse en combinatoire algébrique, l’approche exploratoire est essentielle à mon travail. Mon processus de recherche est un va et vient constant entre des expérimentations manuelles (calculs, énumération exhaustives de structures, cas particuliers, etc) et sur ordinateur. Dans cet exposé, je me baserai sur un problème en cours pour dérouler le processus de recherche qui m’amène à obtenir de nouveaux résultats.
  
  

23 mai 2022, 9:30 - 13:00, salle Kandinski, 631B, 14:30 - 16:30, salle Mondrian, 646A, hybride

Séance organisée par K. Chemla, Nicolas Michel & A. Remaki

: : Partie I, Diagramme et Calcul

• 9:30 - 9:45 Introduction

• 9:45 - 10:45 Sandra Bella (CNRS, Erc Philiumm, SPHere)
  Modifications diagrammatiques par et pour le calcul leibnizien (1684-1700)
  Bien que l’analyse infinitésimale ait cherché au cours du xviiie siècle à se déprendre des figures, les diagrammes ont joué un rôle crucial pour l’appropriation du calcul différentiel et intégral à ses débuts, et ce pour diverses raisons.
  Dans cette intervention, j’examinerai comment les acteurs se sont appuyés sur des diagrammes pour donner sens à la notion de différentielle. En particulier, je porterai mon attention sur la manière de réinvestir des diagrammes en usage pour légitimer l’introduction des différentielles – ou de différentio-différentielles – comme grandeurs, et comment, ce faisant, les anciennes notions impliquées sont modifiées et s’enrichissent.

• 10:45 - 11:00 pause

• 11:00 - 12:00 Arilès Remaki (Université Paris Cité, SPHere)
  Diagramme de sommation par paquets : étude comparative sur la somme des inverses des nombres triangulaires
  En 1665, une série infinie émerge spontanément dans les travaux de Christiaan Huygens sur les jeux de hasard : la série des inverses des nombres triangulaires. Sept ans plus tard, lorsque le mathématicien néerlandais rencontre pour la première fois Gottfried Wilhelm Leibniz à Paris, il met au défi le jeune philosophe, désireux de faire ses preuves, de trouver la valeur de cette série infinie. Leibniz calcula non seulement cette série particulière mais aussi la formule générale des sommes des inverses de séries des nombres combinatoires, ce qui impressionna profondément Huygens. Cela encouragea Leibniz à faire connaître sa découverte aux membres de la Royal Society dont il souhaitait faire partie. Mais ceux-ci lui répondirent que ce résultat avait déjà été démontré par le mathématicien italien Pietro Mengoli en 1650. La même année, Leibniz mentionne un résultat très similaire, démontré par William Brouncker dans un article extrêmement concis paru dans les Philosophical Transactions de la Royal Society.
  Trois travaux de trois mathématiciens contemporains, à savoir Mengoli, Huygens et Broucker, sur trois problèmes différents aboutissent au même résultat, présenté de la même manière : l’égalité entre la somme d’une série et un nombre entier. Les trois textes sont très différents, que ce soit par leur taille ou leur nature. Ils utilisent des outils de nature différente, et s’appuient sur des travaux antérieurs différents. Malgré ce caractère multiforme, nous nous emparerons avec joie de l’occasion fournie par Leibniz, de réunir ces trois textes pour mettre en lumière leur facteur commun : le rôle combinatoire des diagrammes dans le calcul de la somme d’une série.

• 12:00 - 13:00 Andrea Bréard (Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg)
  Voir l’arithmétique par les branches et les transformations de tables triangulaires dans l’œuvre de Li Shanlan (1867)
  A partir du triangle arithmétique, Li Shanlan construit dans son traité Catégories analogues d’accumulations discrètes de 1867 d’autres tables triangulaires par des opérations appelées « branchement » (zhi ?) ou « transformation » (bian ?). Je discuterai comment ces opérations sur les tables lui ont permis de déduire les procédures de sommation de chacune des diagonales de ses triangles et d’établir des liens arithmétiques entre les sommes des diagonales de différents triangles. Même si Li ne donne pas de procédure générale, mais seulement les sommes des premières diagonales à partir desquelles le lecteur est invité à déduire les autres, je montrerai que les tables faisaient apparaître une logique (des « patterns » en anglais) plausible pour leur calcul général.

: : Partie II, Greek Notations, salle Mondrian, 646A, séance commune avec le séminaire Mathématiques 19e-21e, histoire et philosophie

• 14:30 - 16:30 : Alexander Jones (New York University, Institute for the Study of the Ancient World)
  Sexagesimal and other fractional notations in Greek astral science
  In texts and tables of Greek mathematical astronomy, as well as in related fields such as astrology and mathematical geography, whole numbers were expressed in the so-called Ionian non-place-value decimal notation that employed an augmented 27-letter Greek alphabet to represent numbers (1 through 9) of units, tens, and hundreds. For fractional quantities there were two common notations, both incorporating the Ionian notation. One, structurally resembling Egyptian fractional notation, expressed a fractional quantity as a string of one or more distinct nth-part fractions (equivalent to 1/2, 1/3, 1/4,…). The other, adapted from Babylonian sexagesimal place-value notation, expressed fractions as strings of one or more whole numbers (0 through 59) representing multiples of consecutively decreasing powers of 60 (60-1, 60-2, 60-3,…). The two notations could coexist in a single work, and sometimes the same body of data is found expressed in the one notation in one context and in the other in a different context. This talk explores two topics : the functions of the two fractional notations, and certain distinctive and crucial features of the Greek sexagesimal notation that differentiate it from its Babylonian antecedents.

13 juin 2022, 9:30 - 17:00, salle Rothko, 412B, hybride

: : Les théories des axiomes au XVIIe siècle

Séance organisée par V. de Risi

• 9:00 Accueil

• 9:30 - 10:30 Mogens Laerke (CNRS, Maison Française d’Oxford / IHRIM, ENS de Lyon)
  Consensus and Common Notions in Early Modern Theory of Knowledge
  In this presentation, I want to outline a research programme. The history of the early modern theory of
  knowledge is routinely depicted as a story about how epistemologies based on authority, tradition, and general agreement were replaced by epistemologies based on criteria of self-evidence or empirical observation. And yet, when looking beyond the traditional rationalist-empiricist alternative into which that narrative feeds, arguments from general agreement begin to resurface everywhere, and for good reason. In this paper, I argue that early modern philosophy did and indeed had to endorse some positive conception of the intrinsic value of collective knowledge acquisition. I moreover suggest how this conception was broadly expressed in the very diverse early modern reception of the originally Stoic notion of so-called “common notions.

• 10:45 - 11:45 Dana Jalobeanu (ICUB-Humanities & Department of Theoretical Philosophy, University of Bucharest)
  Francis Bacon on Axioms, Laws, Rules and Principles : An investigation into the aggregation of a scientific vocabulary
  Francis Bacon is rarely mentioned in the histories of the emergence of a concept of laws of nature. His
  philosophy does not seem to contain a conception of laws as regularities ; but he does treat the subject and has a very rich vocabulary to refer to it. The trouble is that he talks, sometimes indistinguishably, of laws, forms, principles and axioms, precepts, maxims and rules. My purpose in this talk is to review and clarify some of this vocabulary and to show that Bacon’s terminological struggles are philosophically interesting and scientifically relevant. I show that we can find in Bacon a change and evolution of this vocabulary, corresponding to the phases of growth and maturation of his conception of science. What we can see especially in his late natural and experimental history is a form of aggregation of a scientific vocabulary.

• Pause

• 12:00 - 13:00 Élodie Cassan (UMR 5317, CNRS, ENS de Lyon)
  Towards the shaping of a logic ? Remarks about Descartes’ May 24th 1640 Letter to Regius
  In the seventeenth century, logic was not treated in exclusively formal terms, but also dealt with epistemology and psychology of knowledge issues. The part played by Descartes towards the shaping of this discipline, has long been acknowledged. However, the exact features of his contribution to the logic of his time still have to be disentangled. Such is the purpose of this paper. Progress in scholarship has recently shown that Descartes’harsh words about the syllogism were not to be interpreted in terms of a rejection of formal logic issues. It has also revealed the impact of Descartes’ theory of ideas on the logics that were written from the second half of the 17th century on. This presentation intends to go one step further, with an attempt at reconstructing what Descartes did with logic. Accordingly, it focuses on a letter to Regius on May 24th 1640, where Descartes developed the terms of his logic. In this letter, he named ‘axioms’ or ‘premises’ or ‘principles’ the propositions a deduction derives from. He called ‘conclusions’ the propositions a deduction leads to. He identified the reasons why we form judgments with the principles from which we build deductions. A consideration of Descartes’understanding of these elements of reasoning will illuminate the philosophical role he attributes to logic, as providing the tools for the building of philosophical discourse.

• Pause déjeuner

• 14:30 - 15:30 Vincenzo de Risi (CNRS, Laboratoire SPHère & Max-Plank-Institut für Wissenschaftsgeschichte)
  The Provability of Axioms : Birth and downfall of a Scholastic theory
  One of the major problems in the history of epistemology is to provide an explanation for the lack of alternative axiomatic systems in mathematics before the 19th century. The cause of this absence can apparently be found in an important Scholastic theory of the provability of axioms from the definitions of the terms employed in them. The talk reconstructs the sources and history of that Scholastic theory, which, conceived in commentaries on Aristotle in the 13th century, enjoyed an extraordinary popularity during early modernity and the 17th century in particular, and was endorsed by philosophers, mathematicians and scientists throughout Europe.
  This theory had important consequences regarding the nature and function of axioms in all sciences, and in mathematics in particular. The talk concludes by showing how that theory disappeared during the 18th century and was replaced with a new epistemology that led, among other things, to the discovery of non-Euclidean geometries.

• Pause

• 15:45 - 16:45 Arnaud Pelletier (Université Libre de Bruxelles)
  On Leibniz’s First Principles
  Leibniz constantly asserts the necessity to demonstrate the axioms assumed by Euclid and to reduce them, through a series of distinct definitions, to the only genuine axioms, namely the identical propositions. In this sense, axioms are no exception among the principles at the foundation of the sciences that Leibniz lists in various inventories : definitions, hypotheses, phenomena, initia, fundamenta, praecognita. Beyond these, Leibniz introduces a distinction between those principles and some genuine first principles that would be truly unprovable, while nevertheless supporting knowledge. There are therefore no axioms (which can provisionally serve as first principles of a doctrine) without genuine first principles : more than their status and function, the way to grasp and acknowledge them must be distinguished from that of the axioms. This paper outlines some elements of the distinction between axioms and first principles.