Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

Monday October 18, 9:15am – 1pm, Room Rothko, 412B, and webconference

: : Presentation of the work of young researchers

Session organised by A. Trouillot

• 9:15am - 10am : Guillaume Loizelet (Université de Toulouse & ED 623, SPHere) –via Zoom
  Le Livre des Hypothèses de Ptolémée : ce qu’il contient, ce qui en a été transmis, et ce qu’on y a lu
  Les dimensions célestes déterminées au IIe siècle par Ptolémée dans le Livre des hypothèses ont constitué l’ordre de grandeur du cosmos jusqu’au XVIe siècle. Nous ne savons ceci que depuis 1967 et la redécouverte, non fortuite, de la seconde partie du livre I. Il ne s’agit ici que de l’un des derniers rebondissements de l’histoire chaotique de la transmission du Livre des hypothèses. Bien que nous disposions désormais de deux manuscrits complets de la version arabe du Livre des hypothèses, le sens de nombreux passages du Livre II reste encore difficile à élucider. Dans notre communication nous montrerons comment l’analyse du texte arabe de la seconde partie du Livre I permet de retrouver la cohérence interne du traité de Ptolémée, et par là de comprendre comment le Livre des hypothèses a été lu dans l’Antiquité tardive ainsi que l’influence qu’il a pu avoir sur les astronomes médiévaux arabes puis latins.

• 10am - 11am : Alban Da Silva (Université Paris Cité, ED623, SPHere) –via Zoom
  La pratique de dessin sur le sable du Vanuatu : une approche ethnomathématique
  Il existe dans les sociétés traditionnelles du Vanuatu (Pacifique Sud) une activité culturelle consistant à dessiner, à même le sol, des figures symétriques à l’aide d’un doigt. Le dessinateur produit une ligne continue qui ne repasse pas continument sur elle-même, il ne lève pas le doigt durant le tracé et il finit son dessin à l’endroit où il l’a commencé.
  Je présenterai la méthodologie – à la frontière des mathématiques, de l’informatique et de l’anthropologie – que j’ai déployée pour rendre compte de la dimension mathématique de cette pratique. Je montrerai en particulier que l’enquête ethnographique que j’ai menée, notamment sur l’île de Pentecôte, m’a permis d’élaborer un modèle qui décrit fidèlement certains traits de cette pratique. Ce modèle permet 1/ de réécrire la réalisation de certains dessins comme des algorithmes et des opérations algébriques, 2/ d’examiner les méthodes expertes comme des recherches de chemins eulériens dans un graphe. La discussion pourra s’orienter sur les aspects épistémologiques de ce travail : les dessins peuvent-ils être considérés comme des traces matérielles « d’idées mathématiques », au sens ou l’entendait l’ethnomathématicienne Marcia Ascher ?

• 11am - 12am : Alexis Trouillot (Université Paris Cité, ED623, SPHere)
  Intersexes et héritages : sur un problème juridique et mathématique saharien
  Un problème souvent mentionné dans le cadre des divisions de l’héritage musulman est lié a la figure de l’intersexe. A la fois homme et femme, sa présence introduit une complexité dans les calculs que les praticiens ne manquent pas de souligner.
  Nous allons ici regarder deux utilisations de cette figure dans les textes d’un érudit Mauritanien du 19e siècle, Sīdiyyā al-kabīr. Dans son traité sur les partages successoraux, cette figure intervient notamment pour apporter un commentaire à ce qui représente une exception dans les règles de divisions musulmane. Dans un second temps, nous regarderons une fatwa dans laquelle il utilise les intersexes pour créer un problème non seulement pour les juristes, mais aussi pour les arithméticiens.

• 12am - 1pm : Pierre Chaigneau (SPHere)
  L’évolution de la démarche historiographique de Neugebauer des années 1930 à The Exact Sciences in Antiquity, 1952
  On trouve la numération sexagésimale de position dans les textes cunéiformes édités pour la première fois par Otto Neugebauer et François Thureau-Dangin dans les années 1930. La manière dont ces éditeurs se sont frottés à elle a eu une énorme influence sur la compréhension de ces textes, innovante par bien des aspects, mais subtilement blocante d’un autre côté. Retour sur un moment clé de l’historiographie des mathématiques cunéiformes d’après ma thèse soutenue en 2019

November 8, Room Rothko, 412B, Building Condorcet, Univ. Paris Cité

Polynomials : Elements of a Global History —II
Session organized by K. Chemla (CNRS, SPHere)
The historiography of medieval and modern mathematics proposes to identify, in texts in Arabic of the 12th century, in texts in Chinese of the 13th century, in Italian texts of the 14th century, and in many others, the introduction of “Polynomials” and the development of knowledge and practices about them, without really comparing them with each other, or even addressing the question of possible historical links between them. In these various contexts where a modern reader sees "polynomials", are they the same entities, and if not, how are they different ? What were, here and there, the functions which were devolved to them, the notations which were associated with them, and what operations were applied to them ? What types of links did the actors forge, in the various contexts, between themselves and other mathematical entities with which they articulated them ? Can we grasp the historical processes at the end of which these “polynomial” entities were introduced ? How can this examination shed light on the modern concept of the polynomial and its ancient relatives ? These are some of the questions to which we will seek to collectively develop answers.

• 9:30am - 10am : K. Chemla & al.
  An overview of the bibliography on the subject

• 10am - 11am : Roy Wagner (ETH)
  Algebraic terms avant la lettre
  in this talk I will discuss the emergence of practices that are usually associated with explicitly algebraic letter-unknowns. The main claim is that pre-algebraic mathematical practices from the spheres of economy arithmetic already include practices that will later be projected on algebraic letter-unknowns, letter-parameters and letter-variables (mostly from late medieval Italy, perhaps also from India). In that sense polynomials consolidate and coordinate previous practices around specific signs, rather than simply introduce new mathematical practices. This approach may be more generally useful to contend with the problem of anachronistic interpretations in the history of mathematics by shifting our focus from concepts to practices.

• 11am - 11:15am Break

• 11:15am - 12:15am
  David Rabouin (CNRS, SPHere & ERC Philiumm) & Eleonora Sammarchi (ETH)
  Polynomials as types of numbers during the Renaissance : Stevin and the cossic tradition
  By the end of the 16th century, just before the emergence of the so-called “symbolic” algebra, two main traditions are developed. Although connected, these traditions do not work on the same mathematical object. According to the first one, algebra consists in the resolution of problems on unknown quantities, and is focused on the “question”, or equation. The second one conceives algebra as an extension of arithmetic that deals with new kinds of numbers. Simon Stevin belongs to this second tradition. In his work he refers to “algebraic numbers”, and designates their composition as “multinomie algébrique”. His approach was not completely new, and was especially influenced by the cossic tradition. There too, new numbers – called “cossic numbers”– were introduced as an extension of ordinary numbers. This led the Rechenmeister to specify the rules for the operations on what we call polynomials. In this talk, we describe this textual tradition by taking as a starting – and end – point the algebra of Stevin, and by examining some extracts from the treatises of Rechenmeister such as Rudolff, Scheubel, Mehner, Curtius, Kandler, and Henisch.

• 12:15am - 1pm
  Roundtable : Karine Chemla, Sara Confalonieri, Agathe Keller & Odile Kouteynikoff

Bibliography prepared by K. Chemla, S. Confalonieri, A. Keller, O. Kouteynikoff, D. Rabouin, Eleonora Sammarchi :

• DATTA, Bibhutibhusan, et Avadhesh Narayan SINGH, History of Hindu Mathematics. Vol. 2. Lahore : Motilal Banarsidass, 1938. p. 9-35

• FARÈS, Nicolas, As-Samawal, chapitre 4 de Naissance et développement de l’algèbre dans la tradition mathématique arabe, Beyrouth, 2017.

• HAYASHI, Takao. « Bījagaṇita of Bhāskara ». SCIAMVS Sources and Commentaries in Exact Sciences 10 (2009) : 3 301. p. 110-117 et p. 129-130

• LI Yan, and DU Shiran. (J. N. Crossley and A. W. C. Lun, trans.) (1987) Chinese mathematics : a concise history. Oxford [England] : Clarendon Press, p. 135-148.

• Ken Manders. “Algebra in Roth, Faulhaber and Descartes”. Historia Mathematica, 2006, 33, p. 184–209.

• OAKS, Jeffrey. « Polynomials and Equations in Arabic Algebra », Archive for history of exact sciences, 63, 2009, p. 169–203.
  OAKS, Jeffrey. « Polynomials and Equations in medieval Italian algebra », Bollettino di storia delle scienze matematiche, 30, 2010, p. 23–60.

• Rashed, Roshdi. « L’extraction de la racine nième et l’Invention des fractions décimales (XIe-XIIe Siècles) », Archive for history of exact sciences 18, 1978, p. 191-243. En particulier les pages 220-226

• Van Praag, Paul. « Pedro Nuñez, Simon Stevin, et le plus grand commun diviseur des polynômes » (en ligne ici : https://math.umons.ac.be/preprints/src/VanPraagVp23.pdf)

• Stedall, Jacqueline. From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections : filling a gap in the history of algebra, EMS, 2011

December 6, 2021, 9am – 5:30pm, Room Malevitch, 483A, & webconference

: : On the Lettres de A. Dettonville : what infinity in calculations ?

Session organised by J. Cortese (University of São Paulo, & SPHere)

May 23, 9:30am - 1pm : Room Kandinsky, 631B, 2:30pm - 4:30pm, Room Mondrian, 646A, hybrid

: : Diagram & Computation

Session organised by K. Chemla, N. Michel & A. Remaki|

• 9:30am - 9:45am Introduction

• 9:45am - 10:45am Sandra Bella (CNRS, Erc Philiumm, SPHere)
  Modifications diagrammatiques par et pour le calcul leibnizien (1684-1700)
  Bien que l’analyse infinitésimale ait cherché au cours du xviiie siècle à se déprendre des figures, les diagrammes ont joué un rôle crucial pour l’appropriation du calcul différentiel et intégral à ses débuts, et ce pour diverses raisons.
  Dans cette intervention, j’examinerai comment les acteurs se sont appuyés sur des diagrammes pour donner sens à la notion de différentielle. En particulier, je porterai mon attention sur la manière de réinvestir des diagrammes en usage pour légitimer l’introduction des différentielles – ou de différentio-différentielles – comme grandeurs, et comment, ce faisant, les anciennes notions impliquées sont modifiées et s’enrichissent.

• 10:45am - 11am Break

• 11am - 12am Arilès Remaki (SPHere)
  Diagramme de sommation par paquets : étude comparative sur la somme des inverses des nombres triangulaires
  En 1665, une série infinie émerge spontanément dans les travaux de Christiaan Huygens sur les jeux de hasard : la série des inverses des nombres triangulaires. Sept ans plus tard, lorsque le mathématicien néerlandais rencontre pour la première fois Gottfried Wilhelm Leibniz à Paris, il met au défi le jeune philosophe, désireux de faire ses preuves, de trouver la valeur de cette série infinie. Leibniz calcula non seulement cette série particulière mais aussi la formule générale des sommes des inverses de séries des nombres combinatoires, ce qui impressionna profondément Huygens. Cela encouragea Leibniz à faire connaître sa découverte aux membres de la Royal Society dont il souhaitait faire partie. Mais ceux-ci lui répondirent que ce résultat avait déjà été démontré par le mathématicien italien Pietro Mengoli en 1650. La même année, Leibniz mentionne un résultat très similaire, démontré par William Brouncker dans un article extrêmement concis paru dans les Philosophical Transactions de la Royal Society.
  Trois travaux de trois mathématiciens contemporains, à savoir Mengoli, Huygens et Broucker, sur trois problèmes différents aboutissent au même résultat, présenté de la même manière : l’égalité entre la somme d’une série et un nombre entier. Les trois textes sont très différents, que ce soit par leur taille ou leur nature. Ils utilisent des outils de nature différente, et s’appuient sur des travaux antérieurs différents. Malgré ce caractère multiforme, nous nous emparerons avec joie de l’occasion fournie par Leibniz, de réunir ces trois textes pour mettre en lumière leur facteur commun : le rôle combinatoire des diagrammes dans le calcul de la somme d’une série.

• 12am - 1pm Andrea Bréard (Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg)
  Voir l’arithmétique par les branches et les transformations de tables triangulaires dans l’œuvre de Li Shanlan (1867)
  A partir du triangle arithmétique, Li Shanlan construit dans son traité Catégories analogues d’accumulations discrètes de 1867 d’autres tables triangulaires par des opérations appelées « branchement » (zhi ?) ou « transformation » (bian ?). Je discuterai comment ces opérations sur les tables lui ont permis de déduire les procédures de sommation de chacune des diagonales de ses triangles et d’établir des liens arithmétiques entre les sommes des diagonales de différents triangles. Même si Li ne donne pas de procédure générale, mais seulement les sommes des premières diagonales à partir desquelles le lecteur est invité à déduire les autres, je montrerai que les tables faisaient apparaître une logique (des « patterns » en anglais) plausible pour leur calcul général.

2:30pm - 4:30pm, Room Mondrian, 646A, hybrid
: : Part II : Greek Notations, session together with the seminar Mathematics 19th – 21st, History and Philosophy

• Alexander Jones (New York University, Institute for the Study of the Ancient World)
  Sexagesimal and other fractional notations in Greek astral science
  In texts and tables of Greek mathematical astronomy, as well as in related fields such as astrology and mathematical geography, whole numbers were expressed in the so-called Ionian non-place-value decimal notation that employed an augmented 27-letter Greek alphabet to represent numbers (1 through 9) of units, tens, and hundreds. For fractional quantities there were two common notations, both incorporating the Ionian notation. One, structurally resembling Egyptian fractional notation, expressed a fractional quantity as a string of one or more distinct nth-part fractions (equivalent to 1/2, 1/3, 1/4,…). The other, adapted from Babylonian sexagesimal place-value notation, expressed fractions as strings of one or more whole numbers (0 through 59) representing multiples of consecutively decreasing powers of 60 (60-1, 60-2, 60-3,…). The two notations could coexist in a single work, and sometimes the same body of data is found expressed in the one notation in one context and in the other in a different context. This talk explores two topics : the functions of the two fractional notations, and certain distinctive and crucial features of the Greek sexagesimal notation that differentiate it from its Babylonian antecedents.

June 13 2022, 9:30am - 5pm, Room Rothko, 412B, hybrid

: : Theories of Axioms in the 17 th Century

Session organised by V. de Risi

• 9:00 Welcome

• 9:30am - 10:30am Mogens Laerke (CNRS, Maison Française d’Oxford / IHRIM, ENS de Lyon)
  Consensus and Common Notions in Early Modern Theory of Knowledge
  In this presentation, I want to outline a research programme. The history of the early modern theory of
  knowledge is routinely depicted as a story about how epistemologies based on authority, tradition, and general agreement were replaced by epistemologies based on criteria of self-evidence or empirical observation. And yet, when looking beyond the traditional rationalist-empiricist alternative into which that narrative feeds, arguments from general agreement begin to resurface everywhere, and for good reason. In this paper, I argue that early modern philosophy did and indeed had to endorse some positive conception of the intrinsic value of collective knowledge acquisition. I moreover suggest how this conception was broadly expressed in the very diverse early modern reception of the originally Stoic notion of so-called “common notions.

• 10:45am - 11:45am Dana Jalobeanu (ICUB-Humanities & Department of Theoretical Philosophy, University of Bucharest)
  Francis Bacon on Axioms, Laws, Rules and Principles : An investigation into the aggregation of a scientific vocabulary
  Francis Bacon is rarely mentioned in the histories of the emergence of a concept of laws of nature. His
  philosophy does not seem to contain a conception of laws as regularities ; but he does treat the subject and has a very rich vocabulary to refer to it. The trouble is that he talks, sometimes indistinguishably, of laws, forms, principles and axioms, precepts, maxims and rules. My purpose in this talk is to review and clarify some of this vocabulary and to show that Bacon’s terminological struggles are philosophically interesting and scientifically relevant. I show that we can find in Bacon a change and evolution of this vocabulary, corresponding to the phases of growth and maturation of his conception of science. What we can see especially in his late natural and experimental history is a form of aggregation of a scientific vocabulary.

• Break

• 12am - 1pm Élodie Cassan (UMR 5317, CNRS, ENS de Lyon)
  Towards the shaping of a logic ? Remarks about Descartes’ May 24th 1640 Letter
  to Regius
  In the seventeenth century, logic was not treated in exclusively formal terms, but also dealt with epistemology and psychology of knowledge issues. The part played by Descartes towards the shaping of this discipline, has long been acknowledged. However, the exact features of his contribution to the logic of his time still have to be disentangled. Such is the purpose of this paper. Progress in scholarship has recently shown that Descartes’harsh words about the syllogism were not to be interpreted in terms of a rejection of formal logic issues. It has also revealed the impact of Descartes’ theory of ideas on the logics that were written from the second half of the 17th century on. This presentation intends to go one step further, with an attempt at reconstructing what Descartes did with logic. Accordingly, it focuses on a letter to Regius on May 24th 1640, where Descartes developed the terms of his logic. In this letter, he named ‘axioms’ or ‘premises’ or ‘principles’ the propositions a deduction derives from. He called ‘conclusions’ the propositions a deduction leads to. He identified the reasons why we form judgments with the principles from which we build deductions. A consideration of Descartes’understanding of these elements of reasoning will illuminate the philosophical role he attributes to logic, as providing the tools for the building of philosophical discourse.

• Lunch Break

• 2:30pm - 3:30pm Vincenzo de Risi (CNRS, Laboratoire SPHère & Max-Plank-Institut für
  Wissenschaftsgeschichte)
  The Provability of Axioms : Birth and downfall of a Scholastic theory
  One of the major problems in the history of epistemology is to provide an explanation for the lack of alternative axiomatic systems in mathematics before the 19th century. The cause of this absence can apparently be found in an important Scholastic theory of the provability of axioms from the definitions of the terms employed in them. The talk reconstructs the sources and history of that Scholastic theory, which, conceived in commentaries on Aristotle in the 13th century, enjoyed an extraordinary popularity during early modernity and the 17th century in particular, and was endorsed by philosophers, mathematicians and scientists throughout Europe.
  This theory had important consequences regarding the nature and function of axioms in all sciences, and in mathematics in particular. The talk concludes by showing how that theory disappeared during the 18th century and was replaced with a new epistemology that led, among other things, to the discovery of non-Euclidean geometries.

• Break

• 3:45pm - 4:45pm Arnaud Pelletier (Université Libre de Bruxelles)
  On Leibniz’s First Principles
  Leibniz constantly asserts the necessity to demonstrate the axioms assumed by Euclid and to reduce them, through a series of distinct definitions, to the only genuine axioms, namely the identical propositions. In this sense, axioms are no exception among the principles at the foundation of the sciences that Leibniz lists in various inventories : definitions, hypotheses, phenomena, initia, fundamenta, praecognita. Beyond these, Leibniz introduces a distinction between those principles and some genuine first principles that would be truly unprovable, while nevertheless supporting knowledge. There are therefore no axioms (which can provisionally serve as first principles of a doctrine) without genuine first principles : more than their status and function, the way to grasp and acknowledge them must be distinguished from that of the axioms. This paper outlines some elements of the distinction between axioms and first principles.

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VENUE

Building Condorcet, University of Paris, campus Diderot, 4 rue Elsa Morante, 75013 - Paris*.Map
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Metro : lines 14 and RER C, stop : Bibliothèque François Mitterrand or line 6, stop : Quai de la gare. Bus : 62 and 89 (stop : Bibliothèque rue Mann), 325 (stop : Watt), 64 (stop : Tolbiac-Bibliothèque François Mitterrand)

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