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Accueil du site > Archives > Anciens projets de recherche financés > Histoire des tables numériques > Présentation du projet HTN

Présentation du projet HTN

1. Contexte et positionnement du projet

 

Les tables numériques ont été l’un des instruments de calcul les plus utilisés depuis les débuts des mathématiques jusqu’à l’apparition des ordinateurs. Par « table numérique », nous entendons tout type de texte établissant des correspondances entre deux ou plusieurs phénomènes qualitatifs ou quantitatifs, et s’attachant à disposer sur une surface plane, d’une manière donnée, des séries de valeurs numériques associées à ces phénomènes. On peut s’intéresser aux tables en tant qu’outils de calcul, mais aussi en tant qu’objets révélateurs des pratiques scientifiques et sociales dans divers milieux professionnels. Pourtant, les milliers de tables que l’on trouve à toutes les époques, dans toutes les civilisations et dans tous les domaines des mathématiques « pures » et « appliquées » (en un sens très large de ces termes) ont été relativement peu étudiées en tant que telles. C’est pour cela qu’il nous a semblé utile et novateur de réunir une équipe de chercheurs en histoire des sciences, avec des compétences sur les diverses traditions mathématiques (Égypte, Mésopotamie, Grèce, Inde, Chine, Monde arabe, Europe depuis le Moyen-Âge) et sur les divers contextes d’intervention des tables (astrologie, astronomie, métrologie, arithmétique, analyse mathématique, calcul numérique, mécanique, sciences physiques, sciences de l’ingénieur, mathématiques scolaires, administration et gestion, etc.), afin d’envisager pour la première fois la problématique des tables dans son ensemble. Nous espérons que cela permettra de réaliser des percées significatives dans la compréhension de la place et du rôle des tables dans l’histoire des sciences.
 

2. Description scientifique et technique

 

2.1. État de l’art
 

Le sujet des tables numériques n’a pas encore été exploré dans toutes ses dimensions par les historiens des sciences. Un seul livre récent lui a été consacré :

The History of Mathematical Tables. From Sumer to Spreadsheets, Martin Campbell-Kelly, Mary Croarken, Raymond Flood, and Eleanor Robson (eds), Oxford : University Press, 2003.

Cet ouvrage [6] nous propose tout d’abord une périodisation en cinq époques :

  • De 2500 av. J.-C. au début de notre ère : création du concept de table numérique pour organiser des informations en deux dimensions et calcul des premières tables élémentaires.
  • Du début de notre ère à 1600 : tables trigonométriques et astronomiques, support de la révolution scientifique.
  • De 1600 à 1850 : tables de logarithmes, support de la révolution industrielle.
  • De 1850 à 1950 : tables plus élaborées pour les besoins spécifiques des mathématiques, de la physique, de l’industrie et de l’économie.
  • De 1950 à nos jours : automatisation du calcul des tables, puis remplacement du support papier par d’autres supports (programmes de calcul dans les calculatrices électroniques et les ordinateurs, bases de données en ligne, tableurs).

On y rencontre ensuite une taxonomie des tables. Les auteurs du livre distinguent quatre catégories suivant que les tables sont calculées à partir de données empiriques ou théoriques, et suivant qu’elles sont utilisées comme outil de calcul ou comme une simple collection de données. Ils distinguent enfin trois communautés principales de concepteurs et d’utilisateurs de tables : les astronomes, les mathématiciens et les actuaires.

Après ces points de repères chronologiques et méthodologiques, le livre se compose de douze chapitres indépendants qui sont autant d’études spécialisées. On distingue un chapitre sur les tables sumériennes, babyloniennes et assyriennes ; un chapitre sur le projet de Gaspard Riche de Prony, pendant la Révolution française, de calculer des nouvelles tables de logarithmes et des tables trigonométriques selon les nouvelles unités décimales ; dix chapitres sur les tables en Angleterre et aux États-Unis, depuis les premières tables de logarithmes jusqu’à nos jours. Malgré son contenu très riche et son grand intérêt, le livre présente d’importantes lacunes. Plusieurs époques, plusieurs civilisations, plusieurs types de tables manquent au programme. Ainsi, on s’aperçoit par exemple qu’il n’y a rien sur les tables de cordes de Ptolémée, rien sur les tables trigonométriques et astronomiques arabes et indiennes, rien sur les tables de fonctions spéciales calculées au XIXe siècle. D’autre part, si certaines catégories de tables professionnelles sont bien représentées dans le livre, comme les tables pour les banques et les assurances (tables d’annuité, tables de mortalité) et certaines tables astronomiques (tables de la Lune), d’autres, comme les tables balistiques (tables de tir) ou les tables de marées, sont complètement passées sous silence. Au moins une communauté importante de calculateurs de tables est totalement absente : celle des artilleurs et des spécialistes de balistique. C’est pourtant une communauté qui a fait appel à des grands mathématiciens comme Legendre ou Euler, qui a toujours eu une grande importance sociale dans la mesure où elle était financée par les armées, et qui a réquisitionné en temps de guerre tous les moyens disponibles : on pense par exemple aux grands analyseurs différentiels des années 1930, qui avaient été conçus pour des problèmes d’électricité et de téléphone, et qui ont été employés au calcul de tables de tir pendant la Seconde Guerre mondiale. Enfin, on peut surtout regretter que dix chapitres sur les douze du livre soient consacrés à la Grande-Bretagne et aux États-Unis. On aurait souhaité une prise en compte beaucoup plus importante de l’Europe continentale, en particulier de la France, de l’Allemagne et de la Russie [7].

Avant ce livre, il faut remonter très loin pour trouver d’autres monographies d’ensemble sur les tables : on peut citer l’ouvrage classique de Charles Hutton, Mathematical Tables, publié à Londres en 1785, qui a connu au moins 13 éditions jusqu’en 1894, dont les six premières contiennent une très longue introduction historique. Plus près de nous, on peut mentionner également l’inventaire de Alan Fletcher et al. [8], qui, sans être un ouvrage historique, contient une masse impressionnante d’informations sur les tables, dont 170 pages de bibliographie, et l’ouvrage de Raymond Clare Archibald, Mathematical Table Makers [9], une galerie de portraits de cinquante-trois savants qui ont calculé des tables, depuis Viète, Stevin, Neper et Kepler jusqu’aux années 1940. Pour compléter ces ouvrages de référence qui s’intéressent principalement aux tables mathématiques utilisées en Europe depuis la Renaissance, on dispose aussi de quelques documents de synthèse portant sur des traditions anciennes, surtout dans le domaine de l’astronomie, comme, par exemple, A Survey of Islamic Astronomical Tables, de Edward S. Kennedy [10].

En dehors du livre publié à Oxford en 2003, il y a eu, dans la période récente, quelques publications qui ont étudié certains points particuliers de l’histoire des tables. Citons notamment :

  • Alexander Craik, The logarithmic tables of Edward Sang and his daughters, Historia Mathematica, 30 (2003), p. 47-84.
  • Daniel P. Mc Carthy & John G. Byrne, Al-Khwarizmi’s sine tables and a western table with the Hindu norm of R = 150, Archive for History of Exact Sciences, 57 (2003), p. 243-266.
  • Thomas Sonar, Der fromme Tafelmacher. Die frühen Arbeiten des Henry Briggs, Berlin : Logos, 2002.
  • David King & Julio Samsó, Astronomical Handbook and Tables from the Islamic World (750-1900) : an interim Report, Suhayl, 2 (2001), 9-105.
  • Setsuro Ikeyama & Kim Plofker, The Tithicintamami of Ganesa, a medieval Indian treatise on astronomical tables, SCIAMVS, 2 (2001), p. 251-289.
  • David Alan Grier, The rise and fall of the Committee on Mathematical Tables and Other Aids to Computation, IEEE Annals of the History of Computing, April 2001, p. 38-49.
  • Joachim Fischer, Napier and the computation of logarithms, Journal of the Oughtred Society, 7 (1998), no 1, p. 11-16.
  • Glen Van Brummelen, Mathematical methods in the tables of planetary motion in Kûshyâr ibn Labbân’s Jâmic Zîj, Historia Mathematica, 25 (1998), p. 265-280.
  • Glen Van Brummelen, Determining the interdependence of historical astronomical tables, Journal of the American Statistical Association, 92 (1997), no 437, p. 41-48.
  • Alexander Jones, Studies in the astronomy of the Roman period. I. The standard Lunar scheme. II. Tables for Solar longitude. III. Planetary epoch tables. IV. Solar tables based on a non-Hipparchian model, Centaurus, 39 (1997), p. 1-36, 211-229 ; 40 (1998), p. 1-41 ; 42 (2000), p. 77-88.
  • Benno Van Dalen, A statistical method for recovering unknown parameters from medieval astronomical tables, Centaurus, 32 (1989), p. 85-145.
  • Martin Campbell-Kelly, Charles Babbage’s table of logarithms (1827), IEEE Annals of the History of Computing, July 1988, p. 159-169.

Ce panorama de l’état de l’art fait clairement apparaître les enjeux scientifiques de notre projet : il nous semble particulièrement prometteur de lancer une recherche collective sur l’histoire des tables numériques pour aboutir, d’une part, à la mise au jour de nouveaux corpus et à des études spécialisées sur des points qui n’ont pas été abordés dans la littérature récente, et, d’autre part, à un ouvrage de synthèse qui, pour la première fois, prendrait en compte autant que possible tous les aspects du sujet, à savoir toutes les époques, toutes les civilisations et tous les milieux professionnels dans lesquels des tables de données numériques ont joué un rôle scientifique et social important. Afin de rééquilibrer l’image tronquée des tables qui se dégage des quelques livres existants, un effort tout particulier devra être fait pour accorder une juste place aux milieux « non académiques », aux traditions non occidentales, et, au sein même de la tradition européenne, aux écoles scientifiques non anglo-saxonnes.
 

2.2. Objectifs et caractère ambitieux/novateur du projet
 

Le caractère ambitieux et novateur du projet tient tout entier dans les deux choix cruciaux qui ont été faits par l’ensemble de l’équipe et qui assurent la cohérence de notre entreprise : d’une part, considérer les tables numériques en tant qu’« objets premiers » d’une réflexion historique et épistémologique là où, auparavant, elles étaient surtout rencontrées incidemment dans le cadre d’études ayant d’autres centres principaux d’intérêt, et, d’autre part, les appréhender de façon globale, à la fois « verticalement », à toutes les époques, et « horizontalement », dans toutes les civilisations et tous les milieux professionnels. Ce sont les thèmes abordés depuis quelques années au sein de l’axe de recherche « Algorithmes, instruments, opérations, algèbre » du laboratoire REHSEIS qui nous ont fait prendre conscience de l’omniprésence des tables :

  • Des recherches sur les différents types de nombres en usage dans les civilisations anciennes, qu’ils soient abstraits ou liés à un système particulier de mesure, et sur les pratiques de calcul intrinsèquement liées à ces divers nombres, ont fait systématiquement apparaître le rôle clé joué par certaines tables destinées soit à organiser des données, soit à calculer sur elles. Les représentations des nombres et les techniques opératoires en vigueur dans un contexte donné ont alors gagné à être examinées parallèlement aux contraintes imposées par les tables disponibles dans ce contexte, qu’il s’agisse de la disposition spatiale des données ou des divers procédés (interpolation, décomposition des nombres en facteurs...) nécessaires à la détermination des nombres manquants.
  • Un travail transversal sur les algorithmes a récemment montré comment le fait de « revenir au point de départ » d’un calcul s’incarnait fréquemment dans la lecture à double sens d’une table, lecture plus ou moins facilitée par la structure même de cette table et constitutive de la perception de la réciprocité d’une procédure ou de l’inversion d’une fonction.
  • Une réflexion permanente sur les instruments matériels de calcul nous a convaincus de l’intérêt qu’il y aurait à étudier les interactions liant les tables numériques aux autres types d’instruments : d’un côté, on cherche à mécaniser le calcul des tables pour accélérer leur fabrication et éviter qu’elles soient entachées d’erreurs, d’un autre côté, les tables étant souvent volumineuses et coûteuses, on s’efforce de les remplacer par des instruments mécaniques ou par des tables graphiques (tout cela sans parler des nombreuses situations où des tables sont utilisées conjointement à d’autres instruments dans le cadre de savoir-faire professionnels complexes).
  • En nous penchant sur des formes de mathématiques créées et pratiquées hors des milieux académiques, nous avons rencontré régulièrement la présence de tables, d’une part comme instruments permettant à des ouvriers ou des techniciens ayant une formation théorique modeste de pratiquer « en acte » des mathématiques parfois fort savantes, d’autre part comme outils d’exploration et d’investigation empirique de concepts mathématiques non encore formalisés par les théoriciens.
  • Enfin, notre intérêt pour l’organisation sociale des calculs au sein d’une communauté de travail fait apparaître les tables comme un terrain particulièrement pertinent pour étudier cette organisation. Que l’on ait affaire à des scribes accumulant des résultats sur plusieurs générations, comme ce fut le cas pour les grandes tables d’inverses en Mésopotamie, à des mathématiciens se lançant seuls dans le calcul d’une table et y consacrant plusieurs années de labeur, à des ingénieurs cherchant à mécaniser et automatiser le calcul des tables, ou à des astronomes s’ingéniant à répartir les nombreux calculs nécessaires entre plusieurs calculateurs, ainsi qu’il était souvent d’usage dans les bureaux de calcul des observatoires, on se retrouve toujours face à une organisation humaine hautement révélatrice d’un contexte scientifique, économique et social.

Un grand nombre de nos recherches, quel qu’ait été leur questionnement initial, nous ayant ainsi confrontés à des corpus de tables, il nous a semblé qu’il serait probablement fructueux de reprendre ces investigations dans l’autre sens en faisant des tables l’objet premier et le point de départ commun de nos réflexions. Avec ce thème intéressant tous les membres de l’équipe, quels que soient leurs centres d’intérêt et leurs époques de prédilection, il devrait être possible de dégager des idées originales, de jeter des ponts entre des travaux jusqu’ici séparés et de produire de nouvelles connaissances historiques. Nous faisons en particulier l’hypothèse que les tables numériques sont révélatrices, voire constitutives, de certains « invariants » profonds et universels de l’activité mathématique, notamment en ce qui concerne les efforts pour dépasser le caractère linéaire de l’écriture et atteindre une deuxième dimension — voire des dimensions supérieures — dans la perception des nombres, et accéder ainsi à une notion « tabulaire » de fonction. Cela pourrait conduire à envisager autrement l’histoire du concept de fonction, dont l’émergence est souvent présentée comme relativement tardive, peut-être justement en raison d’une prise en compte insuffisante du rôle des tables.

À travers cette étude unifiée et novatrice du thème des tables numériques par une équipe pluridisciplinaire couvrant à peu près tous les champs de la recherche en histoire des mathématiques, nous nous attacherons à répondre collectivement aux questions suivantes :

Comment synthétiser et rendre compte de toutes les situations qui conduisent à l’organisation de nombres dans des dispositions spatiales à une, deux ou trois dimensions ? Quels sont les liens entre les tables numériques et les autres instruments matériels de calcul, notamment les tables graphiques (abaques et nomogrammes) et les instruments mécaniques ? Dans quelle mesure l’organisation tabulaire des calculs conditionne-t-elle, et est-elle conditionnée par, les théories mathématiques développées ? Quels sont les algorithmes de calcul sous-jacents à la confection et à l’utilisation d’une table numérique ? Quelles sont les méthodes, statistiques ou autres, qui permettent de reconstituer les algorithmes ayant servi au calcul de tables anciennes dans le cas où toute trace de ces algorithmes a disparu ? Qui calculait des tables ? Comment étaient-elles vérifiées ? Quelle précision pouvait-on en attendre ? Qui les commercialisait ? Par quel groupe social étaient-elles mises en œuvre et pour quels types de problèmes ? Que sont devenues les tables aujourd’hui ?
 

3. Programme scientifique et technique, organisation du projet

 

3.1. Programme scientifique et structuration du projet
 

Les différents membres du groupe vont poursuivre individuellement des recherches à partir de leurs préoccupations personnelles et publieront les résultats de ces recherches sous forme d’articles dans des revues d’histoire des sciences. En parallèle, ils se concerteront régulièrement pour confronter leurs points de vue, mettre en commun leurs bases de données sur un site Web, dégager l’essentiel du sujet et aboutir à un livre de synthèse à la fin des quatre années du projet. Le programme scientifique détaillé apparaît en 3.3 à travers les contributions de chaque chercheur. La structuration du projet est donnée en 3.4 dans le calendrier des tâches.
 

3.2. Coordination du projet
 

L’organisation du projet et les modalités de coordination sont décrites en 3.4 en même temps que le calendrier des tâches.
 

3.3. Description des travaux par tâche
 

Christine Proust s’intéressera aux tables cunéiformes. Toutes sortes de tables, écrites sur des tablettes ou des prismes d’argile, ont été retrouvées en abondance en Mésopotamie et dans les régions voisines. Elles constituent des sources de toute première importance, car elles nous permettent de reconstituer les différentes pratiques de calcul qui se sont développées en Orient Ancien aux troisième, deuxième et premier millénaires avant notre ère. Si certains types de tables ont été étudiés par différents auteurs (notamment les tables métrologiques et les tables astronomiques), aucune étude d’ensemble de ces textes n’existe à ce jour. Dans le présent projet, nous nous proposons d’examiner tous les genres de texte établissant une correspondance entre des phénomènes quantitatifs ou qualitatifs. Nous nous intéresserons, d’une part, à l’utilisation des tables comme instruments de calcul et, d’autre part, aux processus d’accumulation et de transmission des données. Nous commencerons par établir un inventaire des tables élaborées à différentes époques et dans différentes régions de l’Orient Ancien, en les classant par période, provenance, genre, fonction. Des études plus spécifiques s’intéresseront à des aspects particuliers, par exemple :

  • Les tables de surface archaïques et les tables d’inverses néo-sumériennes seront analysées dans le but d’élucider les circonstances de l’invention du principe de position dans la numération savante en Mésopotamie à la fin du troisième millénaire avant notre ère.
  • Les tables métrologiques et numériques scolaires seront examinées en tant que témoins des conceptions des nombres dans le milieu des écoles de scribes à l’époque paléo-babylonienne (2000-1700).
  • Une étude diachronique des tables d’inverses (depuis la fin du 3e millénaire jusqu’aux derniers siècles avant notre ère) se concentrera sur deux aspects, qui seront analysés grâce à des programmes informatiques (développés avec le logiciel Mathematica) : 1) les différents algorithmes utilisés par les scribes au cours des siècles pour produire ces tables ; 2) les modalités d’accumulation et de transmission des données d’une génération à l’autre. On s’attachera en particulier à interpréter les différences entre les tables produites mécaniquement par le programme et les tables effectivement produites par les scribes (erreurs, omissions, extensions inattendues…).
  • Les tables astronomiques d’époque séleucide et les méthodes d’ajustement et d’interpolation qu’on y décèle offrent un exemple d’usage des nombres tout à fait singulier. Cet usage sera étudié par contraste avec ceux qui sont attestés dans les périodes plus anciennes [Ossendrijver, Steele ou Ross].

Un autre volet de l’étude des tables anciennes permet de mieux comprendre les pratiques d’astrologie en Mésopotamie, en Égypte et en Grèce dans les derniers siècles avant notre ère et dans l’Antiquité tardive. Il s’agit des textes de divination astrale et des horoscopes [Ross].

Le chapitre sur les tables cunéiformes pourrait s’organiser de la façon suivante :

  1. Une définition de ce qu’on entend par « table » dans le cadre du projet, et un inventaire donnant la liste des sources et leurs caractérisations essentielles (datation, provenance, editio princeps, typologie physique, typologie textuelle, bibliographie). L’établissement de cet inventaire sera réalisé en collaboration avec le projet CDLI, Université de Los Angeles et Max Planck Institute de Berlin). Cette collaboration permettra d’une part de profiter des ressources de la base de données de référence dans le domaine de l’Assyriologie (plus de 200 000 tablettes enregistrées), d’autre part de contribuer à l’enrichissement de ce patrimoine collectif en ligne.
  2. Une description synthétique du corpus, organisée de façon chronologique. Cette description mettrait l’accent sur une typologie physique (aspect des artefacts) et fonctionnelle (modalités et finalités d’usage).
  3. Quelques études thématiques montrant l’usage que peut faire l’historien d’un type de source qui avait été peu considéré auparavant (les dossiers cités ci-dessus sont un exemple).
     

Micah Ross se chargera d’une synthèse de ce que l’on peut dire sur les tables égyptiennes mathématiques, en insistant particulièrement sur les tables de fractions. Par ailleurs, il donnera une vue d’ensemble sur le calcul astral et les horoscopes en Égypte, puis consacrera une étude approfondie aux « tables éternelles » auxquelles Ptolémée fait référence, mais qui demeurent à ce jour largement énigmatiques. Ce volet original de l’étude des tables anciennes, en tenant compte des témoignages qu’apportent les documents démotiques, devrait permettre de mieux comprendre les descriptions de Ptolémée et d’éclairer la lecture de certains signes inconnus contenus dans les « notes de naissance ». En liaison avec les autres chercheurs travaillant dans le projet sur les documents anciens, M. Ross s’attachera à analyser des similarités dans l’élaboration et l’usage des tables astronomiques en Égypte et en Grèce au cours des derniers siècles avant notre ère et de l’Antiquité tardive. En ce qui concerne le chapitre sur l’Égypte du futur livre collectif, il pourra contenir, comme pour la Mésopotamie, une partie donnant une présentation critique de l’ensemble des sources, et une partie plus spécifiquement dédiée à une documentation nouvelle, celle qui est en rapport avec les tables éternelles, et traitant d’un problème particulier, les liens entre l’Égypte et la Grèce. Plus généralement, d’autres études comparées de certains types de tables dans l’ensemble du Proche Orient Ancien pourraient être entreprises avec profit si le projet bénéficiait du recrutement d’un post-doctorant (cf. 6.1).
 

Nathan Sidoli s’intéresse prioritairement à la façon dont les tables étaient produites par des techniques mathématiques en tant qu’objets de connaissance et étudie comment, en retour, elles étaient utilisées pour produire un savoir nouveau. En Grèce (à la différence, par exemple, de la Mésopotamie et de l’Égypte), des tables semblent avoir été introduites assez tardivement dans les hautes mathématiques en raison de leur succès dans les sciences exactes, en particulier en astronomie. Malheureusement, nous disposons de peu d’informations sur les circonstances de cette transformation. Cependant, si l’on compare les traités de sciences exactes du début de la période hellénistique (ca. 300-200 avant notre ère) à ceux de la période impériale romaine (ca. 100-300), la différence est frappante : les plus anciens ne font aucun usage de tables, tandis que, dans les plus récents, des tables apparaissent à la fois en tant qu’objectif d’une recherche mathématique et en tant qu’outil fondamental de travail du chercheur. N. Sidoli étudie principalement l’œuvre de Claude Ptolémée, dont les traités conservés fournissent l’exemple le plus significatif du style de mathématiques auquel il s’intéresse. Son premier objectif, cependant, ne portera pas sur les méthodes employées par Ptolémée pour construire ses tables, ni sur sa conception de leur utilisation dans des calculs ultérieurs. Il se consacrera plutôt à la façon dont Ptolémée nous invite à lire les tables en tant qu’outils de la recherche mathématique, porteurs d’une information spécifique sur les objets tabulés qui peut être exploitée pour produire de nouveaux savoirs sur ces objets. De fait, Ptolémée utilise des tables pour décrire à la fois des relations variables entre objets mathématiques et le mouvement des corps physiques. Bien que Ptolémée engendre toujours ses tables sur la base de figures géométriques, les tables expriment en elles-mêmes quelque chose que les figures ne peuvent pas révéler ; elles expriment que les objets changent ou se meuvent. Ptolémée considérait ses tables comme la meilleure forme envisageable pour faire apparaître les caractéristiques fondamentales du changement en question. En fait, la plupart des tables de Ptolémée peuvent être lues en tant que réponse aux anciennes questions sur le comportement des phénomènes canoniques tels que les heures d’apparition des arcs de l’écliptique ou les changements des positions instantanées de l’écliptique. Les tables révèlent la régularité cachée sous des apparences constamment mouvantes et, pour Ptolémée, il s’agit de faire aparaître ainsi les choses telles qu’elles sont réellement. À travers ce rôle charnière des tables dans le travail mathématique de Ptolémée, les tables sont devenues une caractéristique standard des mathématiques savantes et des sciences exactes.
 

Karine Chemla coordonnera plusieurs recherches sur la production et l’usage des tables mathématiques que les sources disponibles nous permettent d’étudier pour ce qui est de la Chine. Les deux textes chinois de mathématiques les plus anciens à nous être parvenus sont, d’une part, le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu), trouvé récemment dans une tombe scellée en 186 avant notre ère et publié en 2001, et, d’autre part, Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques, un classique compilé au premier siècle de notre ère et transmis par la tradition écrite. Tous deux contiennent des tables d’équivalence numérique entre grains qui étaient clairement utilisées par les bureaucrates dans des fonctions vitales pour l’Empire : le prélèvement d’impôts et le paiement d’émoluments aux fonctionnaires. Or ces tables présentent des différences structurelles qui doivent renvoyer à des mutations dans les modalités de gestion des grains aussi bien que les procédures mathématiques utilisées par les fonctionnaires entre les débuts de l’Empire chinois et le premier siècle. L’enjeu de cette partie du projet est de rendre compte du passage d’un type de table à l’autre, en l’articulant aux mutations qu’ont connues les systèmes d’unités de mesure édictés par la bureaucratie, aux transformations dans l’organisation de la gestion des grains ainsi que dans les concepts et procédures mathématiques utilisés par les fonctionnaires pour ce faire, entre le second siècle avant notre ère et le premier siècle de notre ère. Il y a là un dossier unique pour la lumière très concrète et inédite qu’il jette sur les liens organiques qui associent un pan des mathématiques de la Chine ancienne et l’histoire de la bureaucratie centralisée mise sur pied lors de l’unification de l’Empire chinois par le premier empereur de la dynastie Qin. K. Chemla entend collaborer avec le Professeur Ma Biao (Yamaguchi University, Japon), un spécialiste de l’histoire des Qin et des Han, pour élucider ces questions. Par ailleurs, quelques siècles plus tard, au cours des dynasties Song-Yuan, les tables abondent dans les textes (tables de nombres, de formules, etc.). Ce phénomène reflète la mutation des textes mathématiques en relation avec les usages de plus en plus nombreux de l’imprimerie. K. Chemla compte s’attaquer à l’étude de cette transformation des textes par le biais de l’étude des tables et aborder par ce biais les continuités entre les textes chinois de la période Song-Yuan et le Japon d’Edo. Sur un tout autre plan, elle mettra sur pied des échanges avec Qu Anjing (Northwestern University, Xi’an, Chine) et Andrea Bréard (université Paul-Painlevé, Lille) pour étudier, de façon comparative à ce que les textes mathématiques montrent, l’usage et la confection des tables astronomiques et les savoirs mathématiques qu’elles impliquent, ainsi que les tables utilisées par les bureaucrates de la fin du XIXe siècle et du début du XXe en relation avec la modernisation de l’État et son emploi de statistiques.
 

Agathe Keller travaillera sur les tables indiennes. Dans la littérature sanskrite portant sur les mathématiques et l’astronomie, lorsqu’on regarde la longue période du Ve au XVIIe siècle, il existe deux objets différents qui sont qualifiés par les historiens de « table » :

- des listes versifiées de données, notamment de différences de sinus ;
- des dispositions de nombres dans un tableau, afin d’effectuer sur eux des opérations.

D’un côté donc, un dispositif graphique, qui joue sur des lignes et des colonnes, permettant d’interpréter des données puis d’opérer sur elles – la numération positionnelle décimale pouvant elle-même être considérée comme une notation tabulaire des nombres. De l’autre, des listes versifiées qui servent à énoncer et peut-être à stocker de l’information. Ceux qui nous transmettent ces tables débattent pour savoir comment elles ont été élaborées et si elles sont fautives. Ainsi voit-on deux caractéristiques des « tables » disjointes et séparées. Sont-elles liées parfois ? Voit-on émerger à la fin de cette époque des tables au sens plein de ce mot ? Par ailleurs, existe-t-il un mode d’inscription préféré par un domaine plutôt qu’un autre (les dispositions tabulaires pour les mathématiques ? les listes versifiées pour l’astronomie ?). On tentera d’explorer plus avant les formes et fonctions de ces différentes tables en examinant des textes qui font usage des deux formes. Les textes, les auteurs et les manuscrits étant si nombreux, l’objectif de ce travail consistera, par une étude de cas détaillée reposant sur une observation de manuscrits, à donner un premier aperçu de ce champ. Dans ce cadre, A. Keller proposera une étude des tables chez Bhâskara I (VIIe siècle) en balayant la partie mathématique et astronomique de son œuvre, et en s’efforçant d’insérer cette étude dans un cadre chronologique plus large. Elle prévoit notamment de collationner un manuscrit de Bhâskara qui se trouve à Londres, à la British Library. Par ailleurs, une collaboration avec Toke Lindegaard Knudsen et Kim Plofker permettra de confronter les résultats de cette recherche avec d’autres études de cas sur des auteurs plus tardifs.
 

Glen Van Brummelen a conduit de nombreuses recherches sur les tables islamiques médiévales. Bien que les contextes où l’on rencontre des tables numériques soient nombreux dans l’Islam médiéval, c’est surtout dans le champ de l’astronomie qu’elles abondent. Les utilisations de ces tables sont assez bien connues : résoudre des problèmes trigonométriques, déterminer la position des planètes à des instants précis (en partie pour les besoins de l’astrologie), prévoir les éclipses, établir des horoscopes, etc. Ce qui est moins documenté, c’est dans quelle mesure la production de tables astronomiques a pu contribuer au développement des mathématiques. Quelques documents décrivent explicitement des schémas d’interpolation et d’autres techniques, mais l’essentiel de notre savoir sur les mathématiques sous-jacentes à une table et sur la transmission des connaissances scientifiques qu’elle contient, doit généralement être inféré à partir d’indices enfouis dans les seules entrées de la table elle-même. G. Van Brummelen prévoit donc un panorama qui prenne en compte à la fois le contexte scientifique et culturel des tables, et le savoir historique qui peut en être déduit. Plusieurs sujets pourraient émerger de cette entreprise. G. Van Brummelen va poursuivre l’étude de la table des sinus d’Ibn Yahya al-Samaw’al, qui nous révèle indirectement des informations sur les pratiques de la géométrie à cette époque (XIIe siècle). En parallèle de ce travail déjà bien engagé, il envisage de commencer une étude détaillée des tables de Jamshîd al-Kâshî pour la détermination de la position de Mercure. Le texte d’accompagnement de ces tables contient une intéressante discussion d’une nouvelle méthode d’interpolation qui améliore de façon significative les tabulations de Mercure établies par Ptolémée. Il s’agit de l’un des rares cas où l’on dispose d’une discussion des algorithmes de calcul sous-jacents à une table. La méthode d’Al-Kâshî semble avoir été transmise aux Sultânî Zîj de Ulugh Beg, l’ultime compilation de tables astronomique en Islam.
 

Matthieu Husson a soutenu une thèse sur les domaines d’application des mathématiques dans la première moitié du quatorzième siècle. À cette occasion, il a principalement étudié des tables astronomiques à double entrée et examiné les procédés d’interpolation qui y sont associés. Il a pu noter, sans avoir eu l’occasion d’en faire une étude réellement systématique, que ces procédés d’interpolation changent selon les témoins manuscrits des canons des tables, en fonction de la date et de la provenance géographique. Il envisage d’approfondir cette question. Ces procédés d’interpolation font de plus intervenir des « nombres relatifs » dans des calculs complexes. Une autre piste de travail concerne un texte de Jean de Murs, la Tabula tabularum : il s’agit d’une simple table de multiplication sexagésimale, mais l’auteur en fait un outil de calcul universel, pour tous les types de quantités discrètes et toutes les opérations classiques, y compris l’extraction de racines. Ce travail conceptuel important de Jean de Murs mérite d’être examiné de près. M. Husson travaillera également sur les Tabule magne de Jean de Lignières (XIVe siècle, Paris), actuellement en cours d’examen par Benno van Dalen et Glen Van Brummellen : il s’agit d’une série de tables d’équation des planètes à double entrée. Elles sont inédites (on peut envisager une publication des tables et des canons). M. Husson a déjà collationné tous les témoins des tables, et une bonne partie des témoins des canons. Il les a comparées au second équatoire du même Jean de Lignières et il a montré que les deux outils présentent le même profil d’erreur par rapport au « modèle ptoléméen sous-jacent ». Les tables ont-elles été calculées à l’aide de l’équatoire ? Plus généralement, l’ensemble du matériel étudié est manuscrit et d’autres publications sont possibles, notamment la Tabula tabularum de Jean de Murs.
 

Maarten Bullynck a déjà conduit deux recherches sur les tables arithmétiques : l’une sur les tables de facteurs en lien avec la naissance de la théorie des nombres pendant la période 1668-1817, l’autre sur les tables de périodes décimales en Allemagne entre 1765 et 1801, et a ainsi pu replacer les travaux de Gauss dans le contexte de la théorie des nombres en Allemagne. Dans le cadre de ce projet, il envisage de se pencher sur d’autres époques et d’autres sortes de tables de la théorie des nombres, et va tenter d’aborder des questions plus générales comme, par exemple, la spécificité des tables en théorie des nombres. Quels sont les modes de fabrication et d’utilisation des tables dans cette partie des mathématiques ? En quoi la « lecture » d’une table peut-elle faire apparaître de nouveaux problèmes ? Quelles sont les formes transitoires entre tables et machines (en théorie des nombres, il y a, par exemple, les cribles), et comment les tables se transforment-elles à l’ère digitale ?
 

David Aubin veut contribuer à une histoire sociale de la fabrication et de l’utilisation des tables. Il a choisi pour cela trois terrains pour lesquels des sources particulièrement riches permettront d’analyser plus finement les pratiques de ceux qui interagissent avec les tables :

  1. les calculateurs des tables lunaires et planétaires des observations de Greenwich (env. entre 1830 et 1850) ;
  2. les tables de l’horloger Jean-Baptiste Schwilgué qui résument les calculs nécessaires à la conception de l’horloge astronomique de Strasbourg rénovée en 1842 ;
  3. les travaux de rénovation des tables de tir pendant la Première Guerre mondiale.
     

Dominique Tournès se fixe pour objectif principal l’examen des tables de fonctions spéciales du XIXe siècle, en commençant par les tables d’intégrales elliptiques de Legendre. En effet, si plusieurs publications récentes (J. Fischer, I. Grattan-Guinness, T. Sonar, A. Craik...) ont approfondi notre connaissance de l’histoire des tables trigonométriques et des tables de logarithmes, rien ou presque d’analogue n’a été fait sur ces autres tables de l’analyse mathématique, qui ont également joué un rôle scientifique considérable. La première moitié du dix-neuvième siècle est précisément l’époque où de nombreuses applications nécessitent l’introduction de nouvelles transcendantes appelées « fonctions spéciales », définies pour fournir des solutions aux équations différentielles de la physique mathématique résistant aux méthodes ordinaires d’intégration : intégrales et fonctions elliptiques, fonctions Gamma et Bêta, fonctions de Legendre, fonctions de Bessel, fonction hypergéométrique, fonctions de Lamé et de Mathieu, etc. Au fur et à mesure que ces fonctions s’incorporent à l’usage quotidien des scientifiques, il devient indispensable d’en dresser des tables. On estime qu’environ un millier de tables mathématiques ont été produites pendant la période 1800-1870, ce qui permet de mesurer l’ampleur du phénomène. Les premières tables importantes de fonctions spéciales sont celles d’Adrien-Marie Legendre (1811-1826) pour la fonction Gamma et les intégrales elliptiques, celles de Christian Kramp (1799) et Friedrich Wilhelm Bessel (1818) pour la fonction d’erreur servant à l’application de la loi normale de Gauss en probabilités, et celles de Bessel (1826) pour les fonctions de Bessel J0 et J1. Dans le cas particulier des tables d’intégrales elliptiques de Legendre, D. Tournès étudiera tout particulièrement les algorithmes de calcul mis en œuvre, en précisant leur rôle dans le développement de l’analyse numérique et l’influence qu’ils ont pu avoir sur la découverte ultérieure des fonctions elliptiques par Abel et Jacobi. Plus généralement, D. Tournès se propose d’entreprendre une étude systématique des tables de fonctions spéciales produites pendant la période 1800-1950, soit avant l’apparition de l’ordinateur, et de la littérature secondaire qui leur a été consacrée. À partir de ces sources, il s’attachera à explorer les questions suivantes : à quels besoins scientifiques et sociaux répondaient les tables de fonctions spéciales ? Comment et par qui ont-elles été calculées et vérifiées ? Qui s’en est servi et comment ? Comment ont-elles interagi avec l’analyse mathématique théorique ? Quelle a été leur postérité ? Pour ce travail d’envergure, une collaboration avec un post-doctorant serait souhaitable (cf. 6.1).
 

Konstantinos Chatzis (avec la participation de Claudine Fontanon pour les tables de tir) se penchera sur les différentes tables calculées et utilisées par les ingénieurs français, qu’ils soient civils ou militaires, pendant les années 1830-1950. Cette période est, en effet, remplie de tables répondant à des fonctions, des logiques de construction et des caractéristiques diverses. Des ingénieurs utilisent ce procédé de présentation pour mettre en forme des résultats d’expérience – c’est le cas, par exemple, des expériences faites par les ingénieurs du génie militaire Poncelet et Lesbros, à la fin des années 1820, pour déterminer les lois d’écoulement de l’eau à travers les orifices, ou des expériences menées par les officiers d’artillerie Piobert, Morin et Didion pour vérifier la loi de la résistance de l’air à l’avancement de corps de différents profils dans différents milieux (recherches qui ont abouti à la définition de nouvelles tables de tir). D’autres ingénieurs fabriquent des tables à partir des équations différentielles pour lesquelles on ne dispose pas à l’époque de solutions analytiques (c’est le cas de l’ingénieur des ponts Dupuit dans ses études sur le mouvement des eaux en 1848). On fabrique aussi des tables après avoir produit des représentations stylisées de la nature – c’est le cas des tables de déblais et de remblais, conçues dans les années 1830 et 1840 par des ingénieurs savants comme les ingénieurs des ponts Coriolis et Lalanne, et massivement utilisées dans des projets de routes et de chemins de fer durant le XIXe siècle. Après une vue panoramique sur les différents domaines de l’art de l’ingénieur où les tables interviennent comme instrument de travail ordinaire du praticien, K. Chatzis focalisera son intérêt sur un nombre limité de tables — choisies en fonction de leur variété et des documents d’archives disponibles — qui seront analysées à la lumière d’une perspective particulière. Celle-ci envisage la table comme un « objet » qui est produit selon un « processus de fabrication », mis sur le « marché » et « consommé » (utilisé) par les praticiens. Nous allons ainsi étudier à la fois le « produit » (les caractéristiques des tables, y compris leurs formes matérielles, les logiques qui ont présidé à leur élaboration…), les caractéristiques du processus de fabrication (les auteurs des tables, qu’ils soient concepteurs ou exécutants, l’organisation du travail, les divers moyens de production employés pour leur fabrication…), les modalités de diffusion et les pratiques d’usage de la table, enfin. Une attention particulière sera accordée aux relations, parfois de concurrence, entretenues par les tables avec d’autres procédés et d’autres instruments de calcul.
 

Marie-José Durand-Richard envisage d’étudier la mécanisation du calcul des tables, de la machine de Babbage à l’ordinateur, en passant par les analyseurs harmoniques et les analyseurs différentiels. Elle approfondira d’abord la relation entre les textes sur les différences finies et les machines de Babbage, notamment à partir du volume d’exemples que produit John F. W. Herschel (1791-1877) en 1820 sur la méthode des différences finies. L’étude de ce texte, fortement inspiré de Laplace en première analyse, et de la façon dont Babbage l’utilise pour sa machine aux différences, permettra d’appréhender l’état des relations entre calcul aux différences finies et calcul différentiel à cette époque. Les résultats de cette recherche pourront instruire, pour la première moitié du XIXe siècle, la conception algorithmique de la notion de fonction si fortement présente dans les travaux des algébristes anglais. Pour la seconde partie de ce même siècle, ils permettront d’éclairer les interrogations soulevées par les difficultés du développement de ces machines aux différences dans plusieurs communautés de travail (astronomes, statisticiens...). Un travail comparatif pourra alors être entrepris avec la façon différente dont le calcul des tables est traité pour les analyseurs harmoniques et différentiels, relativement aux méthodes aussi bien qu’à la diversification des usages de ces tables au XXe siècle (calcul des tables de tir pendant la Seconde Guerre mondiale notamment).
 

3.4. Calendrier des tâches
 

Première année (2009)

  • Organisation de deux journées d’étude internationales au laboratoire REHSEIS en mai 2009, regroupant les membres du projet et un certain nombre d’experts identifiés dans le domaine des tables numériques. Ces experts présenteront leurs dernières recherches sur le sujet, les membres du projet leur servant de répondants. L’objectif de ces journées est, d’une part, de dresser un premier état de la recherche actuelle sur les tables et des résultats déjà acquis, d’autre part, de préparer le symposium organisé par notre groupe au congrès de Budapest (cf. ci-dessous).
  • Organisation par Dominique Tournès et Qu Anjing d’un symposium sur les tables numériques dans le cadre du XXIII International Congress of History of Science, Budapest, 28 juillet - 2 août 2009.
  • Missions de recherche dans les bibliothèques et les archives en vue de l’acquisition de documents.
  • Séminaire interne à l’équipe en décembre 2009 (responsables : Christine Proust et Dominique Tournès) : présentation des recherches individuelles de chacun pour mettre au point les questions et les modes d’approche des tables à envisager collectivement pour la suite ; définition de la structure du site Web et de ce que chacun pourra y apporter.
  • Bilan de la première année en décembre 2009 (responsable du rapport d’étape : Dominique Tournès).
     

Deuxième année (2010)

  • Missions dans les bibliothèques et les archives (suite).
  • Publications individuelles des membres de l’équipe dans des revues d’histoire des sciences, portant sur des points nouveaux de l’histoire des tables numériques.
  • Enrichissement du site Web (comptes rendus des séminaires, collections de tables numérisées, bibliographies spécialisées, etc.).
  • Atelier de travail au dernier trimestre 2010 (responsables : Agathe Keller et Marie-José Durand-Richard) : élaboration du plan d’un livre de synthèse sur les tables, avec présentation par chacun d’un projet détaillé de contenu pour le chapitre dont il est responsable ; mise au point de règles communes pour la présentation, la rédaction et la bibliographie.
  • Bilan de la deuxième année en décembre 2010 (responsable du rapport d’étape : Dominique Tournès).
     

Troisième année (2011)

  • Publications individuelles (suite).
  • Enrichissement du site Web (suite).
  • Deux ateliers de travail, l’un au premier semestre sur la partie ancienne (responsables : Christine Proust et Agathe Keller) et l’autre au second semestre sur la partie moderne (responsables : Dominique Tournès et Marie-José Durand-Richard) : lecture et discussion des premières versions des divers chapitres du livre.
  • Bilan de la troisième année en décembre 2011 (responsable du bilan d’étape : Dominique Tournès).
     

Quatrième année (2012)

  • Enrichissement du site Web (suite et fin). Préparation d’un cédérom reprenant le contenu du site et d’autres documents, qui sera joint au futur livre.
  • Mise au point des versions définitives des chapitres du livre. Relectures et corrections entre membres de l’équipe.
  • Envoi des chapitres du livre pour relecture à des experts extérieurs à l’équipe.
  • Colloque final du projet en décembre 2012, avec présentation du livre en version française et en version anglaise.
  • Bilan de la quatrième année et de l’ensemble du projet en décembre 2012 (responsable du rapport final : Dominique Tournès).
     

4. Stratégie de valorisation des résultats

 

Résultats escomptés

  • Publication par chaque chercheur du groupe d’au moins un article original dans une revue à comité de lecture, traitant d’un point nouveau de l’histoire des tables numériques.
  • Publication d’un livre collectif de synthèse, en français et en anglais, sur l’histoire des tables numériques.
  • Publication d’un site Web en deux langues — et, à terme, d’un cédérom accompagnant le livre — contenant un inventaire de tables, des collections de tables numérisées, une bibliographie secondaire étendue, des études spécialisées, des liens vers d’autres travaux en ligne sur les tables.
     

Retombées attendues

  • Création d’une communauté internationale de chercheurs s’intéressant aux tables numériques, se rencontrant régulièrement dans des séminaires et colloques au-delà des quatre années du projet.
  • Retombées pour la recherche et l’enseignement : notre souci de privilégier la clarté de la présentation et notre choix du bilinguisme français-anglais devraient aboutir à des documents utiles au niveau international pour concevoir des cours d’histoire des sciences, pour servir de référence dans le domaine des tables numériques et pour constituer le point de départ des recherches de futurs doctorants.

[1] Nous reprenons ici les grandes lignes de la note de lecture de Dominique Tournès parue dans Nuncius, Journal of the History of Science, 20 (2005), p. 275-276.

[2] Il suffit pourtant de parcourir les références données dans le recueil de tables de E. Jahnke et F. Emde (au moins sept éditions à Leipzig à partir de 1940), et dans celui de A. V. Lebedev et R. M. Fedorova (paru à Moscou en 1956) pour se convaincre du poids des contributions extérieures à la Grande-Bretagne et aux États-Unis.

[3] A. Fletcher, J. C. P. Miller, L. Rosenhead & L. J. Comrie, An Index of Mathematical Tables, 2 vol., Oxford : Blackwell, 1946 ; 2nd ed., 1962.

[4] New York : Scripta Mathematica, 1948.

[5] Second edition, Philadelphia : American Philosophical Society, 1956.

[6] Nous reprenons ici les grandes lignes de la note de lecture de Dominique Tournès parue dans Nuncius, Journal of the History of Science, 20 (2005), p. 275-276.

[7] Il suffit pourtant de parcourir les références données dans le recueil de tables de E. Jahnke et F. Emde (au moins sept éditions à Leipzig à partir de 1940), et dans celui de A. V. Lebedev et R. M. Fedorova (paru à Moscou en 1956) pour se convaincre du poids des contributions extérieures à la Grande-Bretagne et aux États-Unis.

[8] A. Fletcher, J. C. P. Miller, L. Rosenhead & L. J. Comrie, An Index of Mathematical Tables, 2 vol., Oxford : Blackwell, 1946 ; 2nd ed., 1962.

[9] New York : Scripta Mathematica, 1948.

[10] Second edition, Philadelphia : American Philosophical Society, 1956.

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