Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

Mathématiques et philosophie ont entretenu au cours de l’histoire des relations riches et constantes. Dès Platon et Aristote, on trouve étroitement mêlées considérations mathématiques et philosophiques, selon une tradition qui se perpétue via les commentateurs jusqu’à la période classique au moins. Théorie de la science, statut des démonstrations, axiomes et postulats, classification des propositions, analyse et synthèse, traitement de l’infini, plus tard place et rôle de l’algèbre, du calcul différentiel, etc., nourrissent continuement les réflexions des mathématiciens et des philosophes dans une interaction féconde. Cette interaction n’est pas seulement intéressante à un niveau historique : elle permet encore au présent un enrichissement mutuel. D’un côté, elle peut fournir à l’historien des lignes de problématisation qui l’orientent dans ses reconstructions conceptuelles ; de l’autre, elle offre au philosophe la possibilité de développer une réflexion attentive à la variété des pratiques mathématiques et des cadres épistémologiques qui se sont développés au cours du temps. Ainsi se trouve naturellement conjoints deux des enjeux majeurs que doivent aujourd’hui relever l’histoire et la philosophie des mathématiques : développer une histoire conceptuelle qui évite le danger des reconstructions artificielles (notamment en s’appuyant sur les orientations philosophiques des acteurs eux-mêmes et la manière dont elles peuvent à l’occasion servir de normes dans leurs pratiques) ; développer parallèlement une philosophie des mathématiques qui puissent rendre compte de leur évolution historique et de la variation des cadres conceptuels qui l’accompagne.

La création de l’unité SPHERE en 2009 a permis un rassemblement unique de chercheurs travaillant de manière continue sur l’histoire et la philosophie des mathématiques depuis l’Antiquité grecque jusqu’à l’âge classique. Ces recherches se sont structurées sous la forme de groupes de travail (autour des périodes grecques et arabes, de la Renaissance et de l’Age Classique), dont on trouvera la description ci-dessous. Les chercheurs participent aux activités de ces groupes afin de développer une approche comparative systématique, et tout aussi bien une sensibilité à leurs spécificités, de ces différents corpus. Par ailleurs, le fait que l’unité développe des recherches portant sur d’autres périodes, comme l’antiquité mésopotamienne, et d’autres aires culturelles, comme l’Inde ou la Chine, a permis de confronter à de nombreuses reprises des explicitations fournies par nos acteurs à des corpus où ces explicitations font souvent défaut, mais où elles s’avèrent non moins éclairantes.

• « Mathématiques grecques et arabes »
  La connaissance des mathématiques écrites en arabe a sans aucun doute considérablement progressé au cours des quarante dernières années, venant souvent remettre en question le cadre historiographique le plus communément admis. C’est ce mouvement que l’on entend poursuivre ici, en continuant d’alimenter la recherche et la réflexion de textes nouvellement établis, qu’ils soient des traductions arabes de traités perdus ou non en grec (les sept premiers livres des Coniques d’Apollonius, la Section de rapport d’Apollonius, les Données d’Euclide, etc.), ou qu’ils proviennent de mathématiciens écrivant en arabe (Abū Kāmil, Thābit ibn Qurra, al-Siğzī, al-Jayyānī, al-Zanjānī, etc.). Il s’agit ainsi non seulement de s’intéresser aux seuls développements scientifiques de l’aire islamique, mais aussi – et surtout – de réinterroger l’ensemble des mathématiques classiques en restituant aux activités mathématiques passées l’horizon épistémique qui est le leur. Sont alors naturellement revisités des thèmes comme l’histoire des courbes, les concepts de rapport et de proportion, la place et le rôle de l’algèbre au sein des mathématiques, les rapports entre algèbre et géométrie, l’introduction du mouvement en géométrie, ou la pratique de l’analyse et de la synthèse. Toutes ces questions, et d’autres encore, sont abordées au cours d’un séminaire mensuel dédié (http://www.sphere.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article739).

• « Mathématiques au Moyen Age latin et à la Renaissance »
  Le Moyen Âge latin hérite des mathématiques grecques et arabes grâce à l’afflux de traductions au XIIe siècle. Après une période d’assimilation, le XIVe siècle voit l’apparition de développements originaux, notamment dans le cadre de réflexions sur la physique aristotélicienne et en particulier sur le mouvement, qui conduisent à une extension de la théorie euclidienne des proportions, mais aussi, dans le cadre théologique, de discussions sur le mouvement des anges, qui mènent à des réflexions sur la composition du continu et le statut des indivisibles, ou encore des réflexions sur l’accroissement de la charité qui induisent des raisonnements utilisant des sommations infinies. La plupart des traités mathématiques et physiques originaux produits à l’occasion de ces questions et de bien d’autres ont été édités à la Renaissance et ont nourri les réflexions des mathématiciens jusqu’au XVIIe siècle, même si bien souvent les sources médiévales sont occultées.
  À la Renaissance, par ailleurs, une attention nouvelle portée aux manuscrits grecs, l’intérêt pour des textes mathématiques un peu passés inaperçus au Moyen Âge comme les traités d’Archimède, ou la redécouverte de nouveaux auteurs comme Proclus, Pappus ou Apollonius, de même que les développements de l’astronomie et l’extension des domaines d’application des mathématiques alimentent les réflexions des mathématiciens. L’algèbre prend aussi son essor et il serait réducteur de ne mettre l’accent que sur les travaux originaux des mathématiciens italiens sur les équations du troisième degré. L’algèbre pose des questions nouvelles, notamment sur le statut des nombres, sur les liens entre les disciplines, algèbre, géométrie, arithmétiques.
  L’ensemble de ces questions nourissent les travaux de certains membres de SPHERE et font l’objet d’exposés lors de journées d’études ou de séminaires.

• « Mathématiques à l’âge classique »
  L’âge classique offre un laboratoire privilégié pour l’étude des rapports entre philosophie et mathématiques, ne serait-ce que par la richesse et la diversité des sources offertes. Pour autant, ces rapports se sont avérés, à l’étude, plus complexes que ne pouvait le laisser présager l’existence de grandes figures de « philosophes-mathématiciens » comme Descartes, Pascal ou Leibniz. On a trop souvent postulé une parfaite adéquation entre le développement de ces deux aspects. Ainsi l’âge classique est-il caractérisé sous ce point de vue par une forte continuité avec les périodes antérieures (voyez P. Mancosu, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, 1996), que la philosophie et les mathématiques ne connaissent pas. Parallèlement, l’étude de Henk Bos sur la transformation de l’idée d’exactitude dans la géométrie classique a bien indiqué la forte présence de normes épistémologiques informant les pratiques mathématiques sans relever de l’histoire de la philosophie stricto sensu (H. Bos, Redefining Geometrical Exactness, 2001). Ces options historiographiques nouvelles forment la base de nos travaux. Notre ambition plus large est d’informer une philosophie des mathématiques attentive à l’évolution historique de cette discipline - programme qui informe aussi bien le renouveau de la tradition française d’ « épistémologie historique » que l’évolution récente d’une partie de la tradition dite « analytique » de philosophie des mathématiques.