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Journée d’étude HTN, 10 janvier 2011

Les tables en théorie des nombres

Programme de la journée HTN du séminaire d’histoire et de philosophie des mathématiques de SPHERE (10 janvier 2011, 9h30-17h30, université Paris Diderot, bâtiment Condorcet, salle Mondrian 646A). Séance préparée par Maarten Bullynck.


Les tables numériques ont toujours été importantes pour résoudre et explorer des problèmes arithmétiques et/ou indéterminés, ainsi que pour l’élaboration de la théorie des nombres et sa constitution comme discipline. Cette journée d’étude veut offrir un panorama diachronique des tables en relation avec les problèmes arithmétiques et la théorie des nombres, afin de questionner et analyser la table comme mode d’enregistrement, de recherche d’informations, de lecture et (re)structuration d’informations, ainsi que comme instrument d’exploration et comme heuristique. L’accent sera mis sur les problèmes de restes et de congruences, et sur les tables qui les accompagnent avant 1800. Finalement, leur rôle sera discuté pour savoir si, et selon quels critères, les tables peuvent servir comme une maïeutique qui suggère des déductions, suscite des concepts importants, ou même des fragments de théorie.

Numerical tables have been important for resolving and exploring arithmetic and/or indeterminate problems and for the formation and consolidation of number theory as a discipline. This « journée d’étude » wants to bring a diachronic panaroma of tables related to arithmetic problems and number theory, and question and analyse the table as a medium of recording, retrieving, reading and (re)structuring data, and as an instrument of exploration and heuristics. The focus will be on remainder and congruence problems and their tables before 1800. Finally, the question will be discussed whether tables can serve as maieutic devices, suggesting deductions, eliciting important concepts or even partial theories.




Les premiers manuscrits arabes autour des nombres congruents

Katia Asselah (CHSPAM–SPHERE)

Résumé. Les deux premiers traités arabes d’analyse diophantienne entière sont un manuscrit anonyme et une lettre d’Al Khazin (M.S. 2457, respectivement fol.81r. à 86r. et fol. 86v. à 92v.). Ces deux manuscrits étudient les hypoténuses des triangles rectangles numériques, leur aboutissement est le problème des nombres congruents.

From tables to mathematical induction

Albrecht Heeffer (CLWF, Université de Gand)

Abstract. From a study of several unpublished abbaco manuscripts we discovered that remainder problems were treated already in the Italian abbaco tradition since the fourteenth century. In relation to on specific problem, one anonymous abbaco master formulated a rule called "la reghola del numero sanza fini" or the rule of numbers with no end. Staring from a table of enumerated remainders, the author uses an argument of mathematical induction to demonstrate that there are an infinite number of solutions to the problem. Not only is this a rare occurence of infinity in abbaco arithmetic it is also the first use of mathematical induction in Europe.

Tables arithmétiques à la fin du 18e siècle : Externalisation et internalisation

Maarten Bullynck (université Paris 8 et REHSEIS–SPHERE)

Résumé. Une certaine tension entre deux usages apparemment opposés de tables arithmétiques semble être présente au 18e siècle dans les régions germanophones. On a un usage en forme extérieure, comme table ou même mécanisme-machine, et on a un usage en forme intérieure, comme mémorisation et application ou même ratiocinatio interne. Ceci peut être illustré par des passages de J. Leupold et de Chr. Wolff. On retrouve cette tension également dans l’élaboration des tables dans l’arithmétique à la fin du 18e siècle. Des exemples seraient la table de la discerption et la table pour résoudre les équations diophantiennes du première degré. On discutera le deuxième exemple, avec la méthode "extérieure" de C.F. Hindenburg qui consiste dans l’explicitation de solutions dans une table, et la méthode "intérieure" de C.F. Gauss, qui, en introduisant la congruence comme concept intégrant, arrive à une théorie plus générale, où les tables restent utiles, mais seront comprimées et peuvent seulement être utilisées si on connaît la théorie.