Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

”L’article ’Théorie des fonctions algébriques’ d’une variable publié en 1882 par les mathématiciens allemands Richard Dedekind et Heinrich Weber est fondateur de la géométrie algébrique moderne. Dedekind et Weber y réécrivent avec des outils algébrico-arithmétiques une large partie des concepts inventés près de vingt ans auparavant par Bernhard Riemann pour l’étude des courbes algébriques. Pour cela, ils transfèrent à la théorie des fonctions de Riemann l’appareil conceptuel développé par Dedekind en théorie des nombres et sa méthodologie ensembliste et arithmétique, élargissant la féconde analogie entre géométrie et arithmétique. Nous en présentons la première traduction française. Accompagnée d’annotations et d’une préface, cette traduction donne aux lecteurs les clefs pour mieux comprendre cet article séminal, et sa place dans notre modernité mathématique, en le replaçant dans son contexte mathématique mais également dans son contexte épistémologique. Cet ouvrage servira autant le philosophe désireux d’ancrer sa réflexion dans l’histoire des mathématiques que l’historien qui souhaiterait comprendre certaines racines épistémologiques de cet épisode du développement des mathématiques, que le mathématicien soucieux d’explorer l’histoire et la philosophie de sa discipline.”

TABLE DES MATIERES [en pdf ici]

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PRÉFACE, p. 5
La théorie des fonctions d’une variable complexe de Riemann, p. 9
Éléments sur la définition de la « surface de Riemann » , p. 9
Réception des travaux de Riemann, p. 12
Éléments sur la genèse de l’article de Dedekind et Weber, p. 14
L’édition des Gesammelte Werke de Riemann, p. 14
Les motivations de Dedekind et Weber, p. 16
La théorie des nombres algébriques de Dedekind, p. 20
Recherches épistolaires pour la mise en place d’une nouvelle théorie des fonctions algébriques, p. 27
Une théorie arithmétique des fonctions algébriques, p. 39
Arithmétique et théorie des nombres au XIXe siècle, p. 42
L’arithmétisation au XIXe siècle, p. 45
Les coupures de Dedekind, p. 48
La conception de l’arithmétique de Dedekind, p. 49
La réécriture arithmétique de la théorie des fonctions algébriques, p. 58
Réception (à moyen terme) de la théorie, p. 64

RICHARD DEDEKIND ET HEINRICH WEBER

THÉORIE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES D’UNE VARIABLE

Introduction, p. 71

Première partie, p. 77
§1. Corps de fonctions algébriques, p. 77
§2. Normes, traces et discriminants, p. 80
§3. Le système des fonctions entières de z dans le corps Ω, p. 86
§4. Les modules de fonctions, p. 91
§5. Congruences, p. 96
§6. Norme d’un module par rapport à un autre, p. 99
§7. Les idéaux dans o , p. 106
§8. Multiplication et division des idéaux, p. 108
§9. Lois de divisibilité des idéaux, p. 111
§10. Bases complémentaires du corps Ω, p. 119
§11. L’idéal de ramification, p. 126
§12. Les fonctions fractionnaires de z dans le corps Ω, p. 133
§13. Les transformations rationnelles des fonctions du corps Ω, p. 137

Deuxième partie, p. 143
§14. Points des surfaces de Riemann, p. 143
§15. Ordres, p. 148
§16. Points conjugués et valeurs conjuguées, p. 152
§17. Représentation des fonctions de Ω par un quotient de polygones, p. 157
§18. Polygones équivalents et classes de polygones, p. 159
§19. Familles de polygones, p. 160
§20. Réduction de la dimension de la famille par les conditions de divisibilité, p. 163
§21. Dimension des classes de polygones, p. 165
§22. Les bases normales de o, p. 167
§23. Quotients différentiels. , p. 171
§24. Le genre du corps Ω, p. 177
§25. Les différentielles dans Ω, p. 181
§26. Les différentielles de première espèce, p. 183
§27. Les classes de polygones de première et deuxième espèce, p. 188
§28. Le théorème de Riemann-Roch pour les classes propres, p. 189
§29. Le théorème de Riemann-Roch pour les classes impropres de première espèce, p. 193
§30. Classes impropres de deuxième espèce, p. 195
§31. Les différentielles de deuxième et troisième espèce, p. 197
§32. Les résidus, p. 201
§33. Relations entre différentielles de première et deuxième espèce, p. 205

BIBLIOGRAPHIE, p. 209
INDEX DES AUTEURS, p. 219
TABLE DES MATIÈRES, p. 221

: : Vrin, collection "Mathesis"
: : ISBN 978-2-7116-2864-3
: : 224 pages
: : Date de publication : janvier 2020

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