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GDR PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES (PHILMATH)


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  • Mission : Promouvoir et fédérer les recherches en philosophie des mathématiques en France-
  • Durée du groupement : 4 ans (2015-2018)

4 AXES PRINCIPAUX DE RECHERCHE
I Développer les recherches à l’interface entre philosophie des mathématiques et philosophie de la logique
II Développer les recherches concernant la question des fondements des mathématiques
III Promouvoir toute recherche concernant les questions usuellement posées en métaphysique et en philosophie du langage à propos des mathématiques
IV Promouvoir le développement de la philosophie de la pratique mathématique sous tous ces aspects – et notamment historique et didactique
A. N. Remarques

Soulignons en outre l’importance de deux thématiques plus « transversales » que l’énoncé de ces quatre axes de recherche ne rend peut-être pas suffisamment saillante ; à savoir, les questions relatives à la théorie des catégories ainsi que la phénoménologie mathématique.



Explicitation plus détaillée de ces axes généraux :


I. Développer les recherches à l’interface entre philosophie des mathématiques et philosophie de la logique

  • La formalisation des théories mathématiques dans un contexte logique et linguistique approprié ; ce qui implique bien entendu, une discussion à propos du choix des contextes. Quel est le cadre adapté à la formalisation des mathématiques ?
  • L’analyse logique des propriétés des preuves mathématiques. Est-il possible de caractériser logiquement certaines propriétés que les mathématiciens attribuent de façon parfois informelle à leurs démonstrations ?
  • La recherche couvrira également des questions touchant aux versions finitistes constructives ou bornées de l’arithmétique, aux relations entre les versions logicistes de celles-ci et les conceptions plus directement liées à la théorie des nombres et à la théorie des modèles. Différentes mais connectées à ce qui précède, on favorisera aussi la recherche sur les relations entre preuves et programme (correspondance Curry-Howard) et la calculabilité.


II. Développer les recherches concernant la question des fondements des mathématiques

  • Les réflexions autour de la théorie des ensembles et de sa sémantique.
  • Les questions soulevées par l’alternative puissante et en plein développement de la théorie des catégories.
  • Les approches « philosophiques » de la question des fondements. Nous entendons par là les différents programmes nés récemment, et ayant comme but de justifier ou expliquer les présuppositions propres à certaines théories mathématiques ou, du moins à en éclairer la modalité épistémique.
  • L’histoire des programmes de fondation des mathématiques est évidemment dans le périmètre thématique du projet.


III. Promouvoir toute recherche concernant les questions usuellement posées en métaphysique et en philosophie du langage à propos des mathématiques

  • L’opposition platonisme/nominalisme (de même que celle, proche, mais qui ne recouvre pas la première, du réalisme et de l’anti-réalisme) –ou peut-être serait-il mieux de dire, les oppositions entre les différentes sortes de platonisme et les différentes sortes de nominalisme –et la question du statut ontologique des objets mathématiques.
  • Le rôle de la notion de vérité en mathématique et/ou de la possibilité de fixer une conception de la vérité telle que l’on puisse dire, de manière appropriée, que les théorèmes des mathématiques sont vrais (on pense, par exemple, aux relations entre vérité et assertabilité garantie, super-assertabilité, probabilité etc.).
  • La nature de la connaissance mathématique, en admettant qu’il y en a une, au sens propre du terme ‘connaissance’ : y a-t-il une spécificité de la connaissance mathématique par rapport aux autres formes de connaissance ? Et si oui, comment la définir ?
  • La question de ce que peut signifier une conception pragmatique des mathématiques.
  • La question, liée à la précédente, et particulièrement importante dans la tradition française, de l’historicité des mathématiques et de l’évolution de la connaissance mathématique, ou, de façon plus générale, du progrès, et/ou du changement conceptuel et/ou de la transformation et/ou de la substitution des théories en mathématiques : l’évolution des mathématiques est-elle ou non de même nature que l’évolution des autres sciences ? Y a-t-il ou non des révolutions scientifiques en mathématiques ?


IV. Promouvoir le développement de la philosophie de la pratique mathématique sous tous ces aspects – et notamment historique et didactique

  • Appréciation des vertus d’un argument mathématique : il s’agit ici, en comparant différent cas d’études, de tenter de préciser des critères d’évaluation des arguments (en particulier des preuves) ou des formes d’évidence (par exemple, des exemples ou contre-exemples) que les mathématiciens acceptent couramment mais qui échappent (ou échappent partiellement, ou semblent échapper) aux tentatives de formalisation.
  • Etudes des nouvelles formes d’application des mathématiques.
  • Rôle des ordinateurs dans les preuves mathématiques et faisabilité des preuves.
  • Nouvelles approches des pratiques mathématiques. Les pratiques mathématiques font notamment l’objet aujourd’hui d’une interrogation de la part des sciences cognitives et de la sociologie. A cet égard : question, d’une part, de la pertinence de ces recherches pour la philosophie et, d’autre part, des nouvelles pistes de recherche que suscitent ces approches pour la philosophie des mathématiques.
  • Le rapport à l’histoire et à la didactique des mathématiques touche au plus près le projet, dans la mesure où ces disciplines ont été les plus attentives à la texture fine des mathématiques.


Remarque sur le caractère nécessairement non-exhaustif de ces pistes de recherche, et retour sur les motivations et l’intérêt de ce groupement de recherche :

  • Toutes ces pistes sont actuellement explorées par des membres du projet. La plupart peuvent l’être à la fois par des philosophes et des mathématiciens. Leur diversité montre qu’aucune limitation dogmatique n’est imposée a priori à notre entreprise. C’est au contraire cette richesse, ce foisonnement même qui donne de la valeur à notre projet, en tant que tentative de constituer un cadre fédérateur et un lieu de confrontation. Ajoutons que les très nombreuses interactions entre ces diverses directions ne peuvent être que locales, car elles naissent de la croissance, du développement et du croisement des pistes de recherches, et ne peuvent donc pas être résumées, et encore moins prescrites, en surplomb. L’intérêt de ce GDR, encore une fois, est de permettre à cette communauté qui se renforce en France de continuer à se développer et à trouver ses propres pistes de développement.


On terminera par deux remarques et deux difficultés qui sont, selon nous, au cœur de la philosophie des mathématiques aujourd’hui, mais qui sont aussi au centre des mathématiques contemporaines et qui appellent et justifient une réelle interdisciplinarité :

  • a) Les mathématiques se développent par une hyperspécialisation et un accroissement extrême de la technicité de leurs objets, au point de rendre impossible la communication entre communautés disciplinaires différentes (ce qui pose un problème philosophique et sociologique remarquable) ; en même temps, à des niveaux de stratifications différents, les mathématiques tissent des relations de connexions et d’unité entre ces diverses spécialités. Comment comprendre ces deux mouvements opposés ?
  • b) Comment, étant donné l’extrême technicité conceptuelle que reconnaissent même les plus grands mathématiciens en activité, la philosophie des mathématiques peut-elle parvenir à prendre en compte ce niveau puissant et difficile de réflexion mathématique sans se faire absorber, emporter par ce flot conceptuel et maintenir un niveau d’autonomie qui ne vienne pas se surajouter de façon artificielle voire abstraite au champ de la pratique réelle des mathématiques ?
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