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Axe Histoire et philosophie des mathématiques

Mathématiques à la Renaissance 2014–2015

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Organisation : Sabine Rommevaux-Tani (SPHERE) et Odile Kouteynikoff (SPHERE)


Ce séminaire, conçu sur plusieurs années, se donne pour objet d’aborder différents aspects des mathématiques à la Renaissance, que l’on peut regrouper dans trois rubriques principales : Humanisme et mathématiques ; l’algèbre entre arithmétique et géométrie ; les mathématiques et leurs domaines d’application. ....lire la suite




 !! 2014-2015 !! : Les séminaires « Mathématiques arabes » et « Mathématiques à la Renaissance » de SPHERE se réunissent cette année pour proposer des séances communes sur l’histoire des mathématiques et de leurs applications, au Moyen Âge arabe et latin et à la Renaissance.



PROGRAMME 2014-2015 : les séances ont lieu le vendredi, de 9h30 à 12h30, en salle Kandinsky (631B).
Bâtiment Condorcet, université Paris Diderot, 4 rue Elsa Morante, 75013 Paris– plan d’accès.



vendredi 14 novembre


Pietro Roccasecca (Accademia di Belle Arti di Roma, Max Planck Institut)
Le De li aspecti de Alhacen : théorie cognitive de la vision et perspective de peintres

  • Le De li aspecti (Codex Vat. Lat. 4595, XVe siècle) est une traduction en langue italienne du De aspectibus, qui, lui-même est une traduction latine du Kitab al-Manazir d’Ibn al-Haytam. Le De aspectibus d’Alhacen – le savant arabe était appelé ainsi au Moyen-Âge –, arriva en Europe au XIIIe siècle. Entre 1260 et 1280, Roger Bacon, John Pecham et Witelo écrivirent des commentaires sur la « perspective » qui firent du De aspectibus la source canonique de la théorie optique en Occident jusqu’à Kepler.
    De mon point de vue, la raison principale de l’intérêt du manuscrit italien consiste dans le fait qu’il pourrait être un des intermédiaires qui favorisèrent l’appropriation des théories optiques par les artistes toscans du XVe siècle. Le De li aspecti s’adresse, en effet, potentiellement, à un public de lecteurs très large, comprenant les artistes et les techniciens.
    D’un côté, l’absence d’autres manuscrits en langue vernaculaire dérivés de celui de la Bibliothèque Vaticana laisse penser à une circulation limitée du codex. D’un autre côté, par contre, deux faits indiquent que le manuscrit circula dans les milieux artistiques de Florence entre les année 30 et 80 du 15e siècle :
    1) Lorenzo Ghiberti, dans son Troisième Commentaire, a inséré des extraits en langue vulgaire du De aspectibus, qui pourraient venir du manuscrit Vat. Lat. 4595
    2) la présence dans le manuscrit de deux dessins de haute qualité formelle (f. 30v et f. 39v), attribuables à un artiste toscan du troisième quart du XVe siècle, dessins qui se différencient des autres présents dans le reste du manuscrit qui, quant à eux, suivent le standard graphique de la tradition médiévale.
    Lors de la séance du séminaire du 14 novembre seront lus les passages (soit en latin, soit en italien) illustré par les deux dessins susdits.

Les passages en latin en question sont disponibles ici :
A. Mark Smith, Alhacen’s Theory of Visual Perception, a Critical editions, with English translation and commentary of the First Three Books of Alhacen’s De Aspectibus, the Medieval Latin Version of Ibn al-Haytam, Kitab al Manāzir, American Philosophical Society, Philadelphia 2001, Book II, 3.80 et 3.147.



vendredi 12 décembre


  • Odile Kouteynikoff (SPHERE)
    Entre le xe siècle arabe et la Renaissance occidentale : le Liber Quadratorum de Fibonacci.
    « Trouver un nombre carré qui, augmenté ou diminué de cinq, fait toujours naître un nombre carré. » Fibonacci consacre la majeure partie du Liber Quadratorum à la résolution de ce problème d’analyse diophantienne entière. La question circule au début du XIIIe siècle, mais on ne peut dire si elle vient de la tradition algébrique fondée par al-Karajî ou de la tradition arithmétique initiée par al-Khæzin. Ces deux mathématiciens de langue arabe ont en effet lu différemment les Arithmétiques de Diophante, traduites de grec en arabe, à la fin du IXe siècle, et ont dès le Xe siècle résolu la question chacun à leur manière. La solution qu’en donne Fibonacci en 1225, « n’appartenant pas moins à la géométrie qu’au nombre » selon son auteur, dont Pacioli, Tartaglia et Gosselin, successivement, se feront l’écho, présente une originalité propre. Son examen nous permettra d’entrevoir la position très spécifique de l’œuvre de Fibonacci, tout à la fois liée aux mathématiques arabes des IXe et Xe siècles et reçue comme source d’inspiration pour les mathématiques latines des XVe et XVIe siècles.


9 janvier

  • Mohammed Abattouy (Université Mohamed V, Rabat)
    Un nouveau corpus de mécanique : Les textes de la science arabe des poids et des balances. Tradition textuelle et signification historique.
    La naissance de la science des poids dans la tradition arabe médiévale équivaut à un remaniement du paradigme de la mécanique ancienne, qui transforma une partie marginale de la géométrie en une science indépendante. Le nouveau paradigme mécanique s’est traduit sur le plan théorique par l’établissement de rapports étroits entre la science des poids et la philosophie naturelle, mettant un terme ainsi à leur séparation dans l’antiquité, et par l’unification des traitements théoriques des problèmes de l’équilibre avec les informations pratiques sur la construction et l’usage des balances. Une telle transformation s’opéra dans un contexte matériel et social marqué par la quête de la précision des instruments de mesure et la montée en puissance de l’institution de la ḥisba, chargée de l’inspection des marchés et du contrôle des instruments de pesage.
    Je caractériserai dans ma communication le remaniement paradigmatique opéré par l’autonomisation de la science des poids et je décrirai les éléments textuels et contextetuels qui l’accompagnèrent. J’aborderai ainsi trois thèmes principaux :
    1. La description de la tradition textuelle du corpus arabe de la science des poids (ʿilm al-athqāl), en reconstituant le corpus des textes scientifiques et techniques édités à partir de manuscrits, et dont l’écrasante majorité n’ont jamais été publiés encore ni présentés auparavant comme un corpus unifié. Les textes composant ce corpus, au nombre d’une cinquantaine, couvrent la période de l’activité scientifique dans les pays islamiques entre le IXe et le XIXe siècles. Ce corpus de textes est unifié par un thème commun : le spectre des problèmes théoriques et pratiques liés aux propriétés des balances, leur description et usage, avec un intérêt spécial pour la balance dite romaine, composée d’un fléau calibré, des bras inégaux et un poids curseur.
    2. L’interprétation du corpus arabe de la science des poids comme une transformation dans l’histoire de la mécanique. Une telle transformation a été opérée par le biais de la création d’une branche indépendante de la mécanique, la science des poids (ʿilm al-athqāl), qui équivaut à la mécanique théorique centrée autour des débats sur les problèmes de l’équilibre et les propriétés des opérations de pesage. Par conséquent, ‘ilm al-athqāl ne doit plus être confondu avec ‘ilm al-ḥiyal, la branche de la mécanique qui étudie différents types de machines.
    3. Il découle d’une telle vision de la signification historique de la science arabe des poids un important résultat : cette tradition scientifique constitue la base historique de la phase suivante de l’histoire de la mécanique, à savoir la tradition latine de la scientia de ponderibus qui émergea dans l’Europe médiévale au XIIIe siècle.


13 février

  • Eleonora Sammarchi (Université Paris Diderot, SPHERE)
    Exemples de problèmes d’analyse indéterminée.
    Les problèmes d’analyse indéterminée font partie d’une tradition très ancienne qui remonte à Diophante. Nous les retrouvons, pour la première fois regroupés en tant que chapitre d’ un traité d’algèbre, chez Abû Kâmil, qui introduira aussi le terme « al-Istiqrā » pour désigner cet art. Al-Istiqrā deviendra, ensuite, un chapitre incontournable des traités de la tradition arithmético-algébrique. Nous analyserons les caractéristiques de ce chapitre dans le cas du traité d’al-Zanjānī, en remarquant le rapport entre partie théorique et partie pratique du chapitre et en présentant quelques problèmes significatifs.
  • Sophie Couteaud (Université Paris Diderot, SPHERE)
    Méthodes pour trouver des nombres particuliers : congruents, diamétraux...
    Dans le pemier livre de son Arithmétique, écrite avant de prendre ses fonctions de Lecteur Royal, Pierre Forcadel mêle définitions, règles des opérations, et propriétés sur les nombres entiers. Nous nous intéresserons à celles permettant d’obtenir des nombres congrus et congruents, ainsi que des nombres diamétraux, à leurs démonstrations éventuelles et aux exemples les accompagnant.


13 mars

  • Philippe Abgrall (CNRS)
    L’usage de la trigonométrie sphérique pour le tracé de l’astrolabe par Ibn ‘Irāq.


17 avril

  • Sabine Rommevaux-Tani (CNRS, SPHERE)
    La résolution des équations du troisième degré par Simon Stevin dans l’Arithmetique (1585) : des avancées significatives par rapport à l’exposé de Gerolamo Cardamo dans l’Ars magna (1545).
    Simon Stevin propose dans l’Arithmetique un exposé des méthodes de résolution des équations du troisième degré qui s’inscrit dans la droite ligne des travaux de Niccolò Tartaglia et Gerolamo Cardano, tout en les dépassant. Nous verrons en particulier qu’un des mérites de Stevin est de proposer des règles unifiées pour les équations sans terme du premier degré et pour les équations complètes. Stevin fait aussi un pas décisif vers une meilleure compréhension des méthodes de résolution en expliquant les origines des différents algorithmes. Et à l’occasion de cette étude, nous verrons, en guise d’introduction, comment les mathématiques hors d’Italie ont reçu les travaux de Tartaglia et Cardano sur les équations du troisième degré.


22 mai

  • Marc Moyon (Université de Limoges)
    L’art de résoudre des équations quadratiques dans le Liber restauracionis.
    Dans le vaste mouvement d’appropriation par l’Europe des sciences des pays d’Islam, l’algèbre des équations occupe une place non négligeable. En particulier, le mukhtaṣar d’al-Khwārizmī, texte publié à Baghdad entre 813 et 833 et reconnu comme acte de naissance officiel de la discipline, est plusieurs fois traduit en latin puis en langue vernaculaire.
    Dans un premier temps, je reviendrai brièvement sur l’historiographie des traductions arabo-latines du texte d’al-Khwārizmī pour présenter et commenter tant le contenu que la forme (avec des éléments paléographiques et codicologiques) de l’une de ces traductions. Je tenterai enfin, par une lecture d’extraits choisis (latin et traduction française) de mettre en évidence les continuités et les ruptures de ce texte avec la tradition algébrique de l’Orient musulman.


19 juin

  • Ali Moussa (King Fahd University of Petroleum and Minerals, Dhahran, Arabie Saoudite)
    L’Almageste d’Abū al-Wafā’.





Suite de la présentation

Ce séminaire, conçu sur plusieurs années, se donne pour objet d’aborder différents aspects des mathématiques à la Renaissance, que l’on peut regrouper dans trois rubriques principales.


Humanisme et mathématiques
On a coutume de caractériser la Renaissance par la découverte ou la redécouverte de textes de l’Antiquité. Face à ces textes, l’attitude des mathématiciens est multiple et souvent ambivalent : volonté de revenir à la lettre de textes dont la connaissance qu’il pouvait en avoir était parfois pervertie par les traductions successives (du grec à l’arabe puis de l’arabe au latin, ou directement du grec au latin) ; souhait de prendre en compte les commentaires médiévaux porteurs de corrections ou d’innovations mathématiquement fécondes ; désir de dépasser les théories contenues dans les textes reçus. Dans cette perspective nous porterons une attention particulière aux Éléments d’Euclide et aux Arithmétiques de Diophante, pour lesquels les questions se posent de manière aigue.


L’algèbre entre arithmétique et géométrie
L’algèbre, qui s’est développée chez les savants arabes à partir du IXe siècle et qui a été transmise à l’Occident latin au cours du Moyen Age, prend un nouvel essor en Europe à la Renaissance. Ce nouveau pan de l’activité mathématique, dont les contours propres ne sont pas immédiatement définis modifie le paysage mathématique, troublant les frontières entre arithmétique et géométrie. L’algèbre conduit les mathématiciens à poser à nouveaux frais la question de la nature des objets des mathématiques, du statut des algorithmes ou des démonstrations, du rôle assigné aux différentes branches des mathématiques.
Nous aborderons l’algèbre à partir des nombreux ouvrages ou parties d’ouvrages publiés à la Renaissance qui se présentent soit explicitement comme des traités d’algèbre, soit comme des traités d’arithmétique, parfois dite « entière », dans lesquels nous reconnaissons des pratiques algébriques, accompagnées ou non de leur théorisation.


Les mathématiques et leurs domaines d’application
On observe à la Renaissance une modification du paysage des mathématiques. Ainsi, la musique, traditionnellement rattachée aux mathématiques, glisse progressivement, dès le XIVe siècle, dans le champ des disciplines dites mixtes, entre mathématique et physique, et une attention particulière est portée à l’étude de la production du son. De même, en optique et en mécanique, disciplines qui depuis l’Antiquité appartiennent aux sciences mixtes, les phénomènes physiques sont mieux pris en considération. Par ailleurs, les domaines d’application des mathématiques se diversifient à la Renaissance et se démultiplient grâce notamment au développement des techniques, qu’elles soient militaires ou civiles. On songe par exemple à la balistique, à l’architecture, ou encore à la navigation. La recherche des perfectionnements techniques pour l’amélioration des performances conduit souvent à la production de nouveaux outils mathématiques, voire de nouvelles théories. Les mathématiciens de la Renaissance sont conscients de ces bouleversements et en font état particulièrement dans les préfaces à leurs ouvrages. Ce sont des sources qu’il conviendra de privilégier pour une étude appronfondie des projets annoncés et des pratiques mises en œuvres.