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Axe Histoire et philosophie des mathématiques

Histoire et philosophie des mathématiques 2013–2014


Le séminaire d’histoire et de philosophie des mathématiques est le point de rencontre des différents axes de l’Unité travaillant autour des mathématiques. Il entend favoriser le dialogue entre philosophes et historiens en prenant soin de toujours revenir aux sources textuelles - les orateurs sont vivement encouragés à fournir les documents permettant aux participants d’y accéder.
Coordination : Marie-José Durand-Richard (Univ. Paris 8, SPHERE).

PROGRAMME 2013-2014 : les séances ont lieu le lundi, 9h30–17h, en salle Mondrian (646A).
Bâtiment Condorcet, université Paris Diderot, 4 rue Elsa Morante, 75013 Paris – plan d’accès.

14 octobre, 16 décembre, 13 janvier 2014, 10 février, 10 mars, 7 avril, 19 mai, 2 juin, 30 juin.

30 juin, 9:30 – 13:15

Mathematics, History of mathematics, Philology and Linguistics, 18th-20eth centuries

Séance préparée par Marteen Bullynck (Univ. Paris 8, SPHERE), Pierre Chaigneau (Univ. Paris Diderot, SPHERE), Marie-José Durand-Richard (Univ. Paris 8, SPHERE), Agathe Keller (CNRS, SPHERE & ERC SAW), Pascale Rabault (ENS, CNRS), Ivahn Smadja (Univ. Paris Diderot, SPHERE), dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World"

This session continues last year’s session reflexion on the relations in the 18th-20th century of mathematics, the writing of history of mathematics, with the birth of linguistics and philology.

9:30 – 10:40
Maarten Bullynck (Univ. Paris 8, SPHERE)

Transfers and transformations of numerals. The brothers Humboldt at the crossroads of disciplines (1819-1835).

In 1819 Alexander von Humboldt presented his "Considérations générales sur les signes numériques des peuples’’ before the Paris Academy. Based upon a collection of data he had received from the various ethnographers and linguists in his scientific network, Alexander developed in this fragment a hypothetical history of the genesis of the hindu-arabic numeration system. The fragment would be reworked and updated in 1829 but it would remain but a fragment of a bigger, unfinished project. Nevertheless, the sketch would prove to be an important source of inspiration for the linguistic studies of his brother Wilhem (1830-1835) on the one hand, and for the prudent beginnings of a history of mathematics (Rosen, Woepcke, Nesselmann) on the other hand. Especially the reflections on the transfer and the transformation of numerals proved to be stimulating and led to the more general question of transfer between cultures and of contact between languages, problems that are still highly topical today.

10:40 – 11:50
Ivahn Smadja (Univ. Paris Diderot, SPHERE)

More on Brahmagupta in Germany : Which Quadrilaterals ? Which Proofs ?

As a result of Colebrooke’s 1817 English translations of Brahmagupta’s and Bhaskara’s mathematical works spreading across Europe among scholarly circles, the French geometer Michel Chasles pointed out the importance of a group of sutras within the mathematical chapters of Brahmagupta’s Brahma-sphuta-siddhanta, viz. BSS XII 21-38. He argued that in spite of the sutras being mere statements unsupported by individual proofs, the whole system of them made sense as providing a unified geometrical theory which, in his view, would solve completely, with precision and in all its generality, one single question, viz. how to construct a cyclic quadrilateral whose sides, diagonals, perpendiculars, segments and area, as well as the diameter of the circumscribed circle, may be expressed in rational numbers. A few years later, that interpretive puzzle and Chasles’ purported solution to it aroused rewewed interest in Germany. At about the same time he developed his theory of ideal numbers, E. E. Kummer also fell under the spell of Brahmagupta’s quadrilaterals. In connecting the problem of rational quadrilaterals, duly transposed into an algebraic framework, to Eulerian methods in Diophantine analysis, Kummer established, through reconstructing Brahmagupta’s methods, that Chasles wrongly imputed generality to Brahmagupta’s theory. Eventually, more than two decades later, by virtue of his conjoining philological precision and mathematical expertise, Hermann Hankel outlined an alternative interpretation of BSS XII 21-38, which would do justice to Chasles’ main insight, though in a minor key, owing to Kummer’s rectification. The present paper unfolds this reading against the backdrop of Chasles’ and Kummer’s previous attempts, thereby showing how it also qualifies as the cornerstone of Hankel’s characterization of so-called Indian intuitive ‘proofs’, by contrast to Greek deductive ones.

11:50 – 12:05 pause

12:05 – 13:15
Pierre Chaigneau (Univ. Paris Diderot, SPHERE)

Some links between Otto Neugebauer’s work and the history of ancient sciences as made before him in Germany.

Otto Neugebauer (1899-1990) entered the field of history of mathematics in 1926 with his doctoral dissertation, which focuses on the use of fractions in Old Egypt. For the next decades, he will be known as one of the greatest specialist of the sciences in Antiquity, bringing new methods and theses. This presentation look back at his influences. It is usual to recall his prestigious mathematical entourage at Göttingen, but the focus here will rather be on his references, in his first writings, to previous German historians of sciences, especially Hermann Hankel (1839-1873).

2 juin, 9:30 – 13:00

Autour d’Heinrich Weber

Séance organisée par Emmylou Haffner (Univ. Paris Diderot, SPHERE).

Mathématicien polyvalent, Heinrich Weber (1842-1913) a contribué au développement de branches des mathématiques parfois très éloignées, de la physique mathématique à l’algèbre, en passant par la théorie des fonctions riemanniennes et la théorie des nombres de Dedekind. Son Lehrbuch der Algebra a également joué un rôle important dans la formation de plusieurs générations de mathématiciens. Pourtant, le plus souvent, et malgré leur richesse, ses travaux sont restés dans l’ombre. Nous proposerons, pendant cette journée, de mettre en lumière ses contributions et son apport aux mathématiques de son temps.

Katrin Scheel (TU Braunschweig)

Heinrich Weber and Richard Dedekind - The story of a great and long-lasting friendship.

Heinrich Weber and Richard Dedekind, two men and mathematicians different as day and night.
They started their collaboration to achieve their common purpose : publishing the collected works of Bernhard Riemann. Rapidly it became more than a collaboration, it became a close friendship which lasted nearly 40 years until the death of Heinrich Weber in 1913. How did this friendship influenced the life and the scientific work of Heinrich Weber ? Which topics did they discuss ? What did they do together ? Did Heinrich Weber learn form Richard Dedekind or vice versa ? We will try to answer these questions by analysing the extensive but not complete extant exchange of letters between Richard Dedekind and Heinrich Weber

Cédric Vergnerie (Univ. Paris Diderot, SPHERE)

Le Lehrbuch der Algebra de Weber et les Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Gleichungen de Kronecker : ressemblances et dissemblances.

Algebra was marked during the 19th century by Heinrich Weber’s and Kronecker’s research and teaching, in particular on the theory of equations, which we will here examine. To this end, we will compare, both in their structure and contents, Weber’s Lehrbuch der Algebra and Kronecker’s Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Gleichungen. We will then try to show how this study permits us to shed light on their conception of mathematics.

19 mai, 9:30 – 17:00

Matinée : Le Zīj al-Sindhind d’al-Khwarizmi

Séance organisée par Matthieu Husson (SPHERE), dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World".

Le Zīj al-Sindhind est un document essentiel pour l’histoire de la circulation des théories et des paramètres astronomiques entre le IXe et le XIIe siècles depuis l’Inde et la Perse jusqu’à l’occident Arabe et Latin. Nous souhaitons faire un point sur cette question importante, mais nous voudrions aussi aborder, au-delà des théories et des paramètres astronomiques, d’éventuelles transmissions d’objets et de pratiques mathématiques telle que la façon de noter les nombres et de présenter les opérations, ou la manière dont est traité le Sinus dans des tables "simples" comme celle de l’équation ou de la déclinaison du Soleil.

José Chabás (Universitat Pompeu Fabra)

Equations and velocities of the Sun and the Moon in the Zij al-Sindhind by al-Khwarizmi.

The astronomical tables ascribed to al-Khwārizmī (early 9th century) reached al-Andalus quite soon after their compilation in the East, and had a considerable success in the Iberian Peninsula, where they were used for several centuries. This so-called Indian tradition coexisted in the Peninsula with the astronomical practice stemming from Ptolemy’s works, also referred to as the Greek tradition, which was predominant both in the West and the East during the Middle Ages.

The solar and lunar equations in the Zij al-Sindhind present some basic features that make them differ from those compiled by Ptolemy and his followers. In turn, al-Khwarizmi’s tables for the solar and lunar velocities depend on the equations of the corresponding luminaries, and thus gave different results than those in the Greek tradition.

In this presentation we will explain the different models underlying the tables for the equations and the velocities of both luminaries, highlight the different parameters involved in them, and present the methods used in their compilation.

Michio Yano (Université de Kyoto)

Indian elements of al-Khwarizmi’s astronomy.

al-Khwārizmī’s astronomical work Zīj al-Sindhind (early ninth century) is very important because there survived only a few Indian texts on mathematical astronomy before him. Only ͞Aryabhata, Varāhamihira, Brahmagupta, and Bhāskara I predate him. So-called modern S͞uryasiddhānta was barely formed in the time of al-Khwārizmī. We know no original Sanskrit text(s) on which al-Khwārizmī ’s Arabic work is based, nor his Arabic translation is known to us. What we have is only the Latin translation of Adelad of Bath (early twelfth century).

The Latin text was published by Suter in 1914. Neugebauer published English translation with commentary in 1962. This is an indispensable work for further study. I am very much indebted to Neugebauer’s work. Although I have no knowledge of Latin and I am poorly informed of Islamic-Arabic astronomy, I would like to give some comments from the viewpoint of the history of Indian astronomy. Especially I want to compare al-Khwārizmī’s planetary theory with that of India and raise some questions.

Après-midi :

Présentation des travaux de Sabine Rommevaux

Les nouvelles théories des rapports mathématiques du XIVe au XVIe siècle.

Lors de cet exposé, je présenterai les conclusions de mon ouvrage à paraître chez Brepols. J’y montre que, du XIVe au XVIe siècle, dans l’Occident latin, se constituent de nouvelles théories mathématiques dont l’objet central est le rapport (ou le logos en grec). A son sujet, les mathématiciens médiévaux se posent la question de sa nature (relation ou quantité) et de sa dénomination (c’est-à-dire de la manière dont il convient de le nommer). Ils construisent une toute nouvelle théorie : celle des rapports de rapports. Nicole Oresme en fait même un objet de calcul dans son Algorismus proportionum (que j’édite et traduis en annexe à mon ouvrage). Et ce sont ces nouvelles théories qui sont largement diffusées à la Renaissance et au XVIIe siècle.

16:00 – 18:00

Sho HIROSE (SAW ERC doctoral student) présentera son thème de recherche en présence de son codirecteur YANO Michio :

The dual illumination of the sphere : Comparing the two versions of the Goladīpikā by Parameśvara.

The south Indian astronomer Parameśvara (c.1360-1460) wrote two treatises on spherical astronomy under the same title Goladīpikā. They differ greatly in structure, and each of them has contents that do not appear in the other. I shall compare the two texts in an attempt to determine their chronological order and to infer about Parameśvara’s intention.

7 avril, 9:30-13:00

Algèbres arabes et gréco-latines du IXe au XVIe siècles

Séance organisée par Sabine Rommevaux (CNRS, SPHERE)

La question « Qui fut l’inventeur de l’Algèbre ? » est couramment posée en ouverture des traités d’algèbre, et ce n’est une banalité qu’en apparence car elle porte en elle l’antagonisme, naissant au XVIe siècle, et longtemps actif, entre la démarche humaniste de redécouverte et de valorisation de la culture gréco-latine et la reconnaissance de la richesse des apports propres de la science arabe. Il est des auteurs qui, comme Gosselin, parlent « De la Grande Art, dite en Arabe Algebre & Almucabale, ou Reigle de la chose, inventée de Maumeth fils de Moïse Arabe », d’autres qui, comme Bombelli, soutiennent que c’est l’œuvre d’un certain « Diofante Alessandrino Autor Greco » qui est au fondement de l’algèbre, d’autres encore, comme Butéon, qui expliquent que les Arabes n’ont pas inventé l’algèbre mais qu’ils ont le mérite d’avoir conservé et transmis tout ce qui était déjà inclus dans les Éléments d’Euclide. C’est sous l’éclairage de ces positions tranchées que nous questionnerons les échos à la Renaissance d’un texte arabe du XIIIe siècle, que nous chercherons dans quel esprit les démonstrations géométriques des algorithmes de résolution ont encore cours dans de nombreux textes renaissants, que nous examinerons enfin comment les Arithmétiques de Diophante sont une nouvelle fois, au XVIe siècle, reçues comme un traité d’algèbre.

Eleonora Sammarchi (SPHERE)
Une lecture algébrique des Éléments au XIIIe siècle : le texte euclidien mentionné par al-Zanjanī dans son Livre d’algèbre.

Dans le chapitre VII de son Livre d’algèbre, al-Zanjanī développe l’algèbre des polynômes. En s’appuyant sur la théorie éuclidienne des nombres en proportion et sur certains théorèmes d’al-Karajī, il collecte une quarantaine de propositions, parmi lesquelles figurent presque toutes les propositions du Livre II des Eléments, interprétées ici algébriquement et expliquées par des exemples purement numériques. Cette lecture algébrique du texte euclidien influencera in primis son exposé de l’algorithme de résolution des équations quadratiques.

Sabine Rommevaux (CNRS, SPHERE)
Démonstrations géométriques des algorithmes de résolution des équations du second degré : al-Khwārizmī, Abū Kāmil, Pedro Nuñez.

Dans son Libro de algebra, Pedro Nuñez propose des "démonstrations nouvelles" des algorithmes de résolution des équations du second degré, en plus de celles plus traditionnelles, produites à la suite d’al-Khwārizmī. Nous comparerons ces démonstrations avec celles d’Abū Kāmil pour les équations du type ax2+c=px, qui ont la particularité d’avoir, selon les cas, deux racines, une seule racine ou aucune racine.

Odile Kouteynikoff (SPHERE)
La réception des Arithmétiques de Diophante par Guillaume Gosselin.

Les Arithmétiques du mathématicien grec Diophante d’Alexandrie ( iiie siècle) ont été traduites en arabe, sous le titre L’Art de l’algèbre de Diophante, par Qustā ibn Lūqā à la fin du IXe siècle. Gosselin les découvre dans la traduction latine des six livres connus du texte grec, que Xylander donne à Bâle en 1575. La lecture que fait Gosselin des Arithmétiques est au cœur du questionnement incontournable sur les liens entre algèbre et arithmétique qui étayent son œuvre.

10 mars, 9:30-17:00

Mathématiques anciennes et médiévales – Moyens de paiement

Séance organisée par Karine Chemla (CNRS, SPHERE & ERC SAW), dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World"

Un grand nombre de praticiens de mathématiques des mondes anciens et médiévaux ont produit des écrits sur les moyens de paiement, monnaies et autres, et ils ont abordé les problèmes liés à leur évaluation et à leur échange. L’objectif de cette journée est d’explorer ces écrits pour comprendre les problèmes mathématiques en jeu et les moyens développés pour les traiter.

CAO Jin 曹晉 (Tübingen University)

Weighing, Counting, and Calculating Coins in Ancient China.

In China much as in most other parts of the world, coins have been the most-used means of monetary transaction over the last two millennia. What makes the Chinese case unique is that generally speaking only coins made of copper in varying alloys with inferior metals were in use. While larger and smaller issues did exist, the majority of coins were of one size, stringing them together in bundles rather than changing their denominations was the common praxis to carry out larger transactions. Under these circumstances the coin as an object itself represented the standard of value par excellence. This status was also reflected in its contours with the circular rim outside standing for heaven and the quadrangular hole inside for the earth.

Thus my talk will focus on coins in the context of their relations with weights and measures as a part of China’s monetary policy, their daily use for transactions and calculations, as well as their cultural connotations and meanings. Besides, it will also be observed that coins were used as a means to retrieve ancient weighing units and their values. In the end, a comparison between the “countable” coins and “weighable” silver ingots, which were another important currency, will be presented.

Matthieu Husson (SPHERE et SAW)

Remarks on John of Murs’s De monetis.

As a part of his complex and manifold Quadripartitum numerorum completed in 1343 John of Murs wrote a treatise on money. The general theme of his treatise is the making of money with a prescribed proportion of silver and copper starting with other types of money or with a certain amount of the two metals. The relation of this treatise to Fibonacci’s Liber abbaci will be acknowledged and its situation in the frame of the Quadripartitum numerorum will be examined. Then we will look at a few key passages, comparing them with the Liber abbaci and other parts of the Quadripartitum numerorum in order to understand how this problem of money was tackled mathematically and how it was presented to various potential readers of the work.

Marc Bompaire (EPHE)

Calculs sur les monnaies. Approches de mathématiciens, approches de praticiens : le cas de livres de changeurs français des XIVe-XVe siècles.

Les rédacteurs de livres de changeurs français –quand on peut les identifier ou cerner leur profil– peuvent présenter une originalité dans le choix des problèmes et les modes de résolution par rapport au modèle proposé par les livres ou des écoles d’abaque. Quelques exemples en seront évoqués et l’enquête portera plus systématiquement sur la présentation de la formule monétaire (titre, poids et cours des monnaies) et des unités servant à l’exprimer.

10 février, 9:30-17:00

Quels sont les liens entre les notions de construction et d’intuition en mathématiques ?

La discussion finale sera modérée par Ramzi Kebaili (SPHERE)

L’objectif de cette séance est de réfléchir sur les liens entre les notions d’intuitions et de constructions en mathématiques (notamment en géométrie). L’angle adopté est une enquête historique : à quelles pratiques mathématiques ces notions renvoient-elles au XIe siècle chez al-Sijzi (G. Loizelet), au XVIIe siècle chez Descartes (S. Maronne) ou encore au siècle dernier chez Weyl (J. Gray) ?

9:30 - 11:00 Guillaume Loizelet (SPHERE)

L’intuition mathématique au 11e siècle : le Traité pour aplanir les voies en vues de déterminer les propositions géométriques d’al-Sijzi

11:15 - 12:45 Jeremy Gray (Open University, London)

Hermann Weyl on mathematical intuition and constructions.

14:30 - 16:00 Sébastien Maronne (Univ. de Toulouse)

Intutitions et constructions chez Descartes

13 janvier, 9:30-17:00

Approximations et erreurs dans divers contextes

Séance organisée par Nadine De Courtenay (Univ. Paris Diderot, SPHERE) et Christine Proust (CNRS, SPHERE & ERC SAW), dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World"

En confrontant des pratiques d’approximations anciennes et contemporaines, nous essaierons de mieux comprendre la complexité de la notion d’erreur. Nous analyserons en particulier comment les différentes facettes de cette notion sont liées au contexte métrologique (instruments de mesure, étalons, unités, et modes de représentation des systèmes d’unités).


Giora Hon (Université de Haïfa)

Accuracy and Precision : Two Aspects of Approximation.

Accuracy and precision corresponds to the dichotomy between systematic and random errors. Accuracy refers to the closeness of the measurements to the ‘true’ value, whereas precision indicates the closeness with which the measurements agree with one another. The paper seeks to shed light on the concept of approximation by analyzing these two different kinds of error.

Robert Middeke-Conlin (SPHERE & ERC SAW)

Error and Uncertainty in Ancient Texts.

This presentation examines approximations found in economic texts of the Old Babylonian period Southern Iraq (between 1900 and 1700 BCE) in which there is a clear deviation from an actual total quantity, the real value, and the total quantity represented on the tablet, the represented value.


Fabien Grégis (SPHERE)

Error and uncertainty in contemporary metrology.

In contemporary science, "error" has become a scientific notion, integrated within a theory of experimentation which enables us to deal with it quantitatively. This presentation will describe how error, and its epistemic counterpart, uncertainty, are taken into account in metrology.

Jonathan Regier, (Univ. Paris Diderot, SPHERE)

Le statut de la mesure chez Képler.
En commençant par l’épistémologie de Philipp Melanchthon et passant par l’art de la cosmographie, nous tenterons d’esquisser ce qu’est « la mesure » dans la philosophie naturelle de Johannes Kepler. Pourquoi faut-il observer, voire mesurer, dans le monde képlérien ? Voici une question qui renvoie à sa façon de voir la nécessité et la contingence en termes mathématiques.

16 décembre, !!! salle Mondrian, 646A !!! 9 :30–13 :00


Séance organisée par Ramzy Kebaili (SPHERE)

L’objectif de cette demi-journée est d’étudier dans les travaux de deux mathématiciens – l’Algèbre Symbolique de Duncan Gregory (1813-1844) et la Théorie des Ensembles de Felix Hausdorff (1868-1942) – l’émergence d’une pratique des mathématiques que l’on peut qualifier de « formelle », et même de « formaliste », dans un sens à préciser. Il s’agit de montrer à la fois le côté précurseur de ces travaux, et leur historicité propre qui ne peut justement pas se résoudre à un simple stade intermédiaire vers une supposée "modernité formaliste". Pour commencer, F. Jaeck présentera le développement de l’Algèbre Symbolique chez Duncan Gregory, et la conception des mathématiques qui en découle. Ensuite, P. Bertin présentera la Théorie des Ensembles de Hausdorff, qui adopte une approche originale car déconnectée des débats "fondationnalistes" sur les axiomes. La discussion finale sera modérée par R. Kebaili.

Frédéric Jaëck (SPHERE)

Le développement de l’Algèbre Symbolique chez Duncan Gregory.

Pascal Bertin (SPHERE)

La Théorie des Ensembles de F. Hausdorff, une approche formaliste mais pas fondationnaliste.

14 octobre, 9:30 – 17:00

Agencement tabulaire des calculs : théorie et pratique

Séance organisée par Robert Middeke-Conlin (SPHERE & ERC SAW), dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World"

La présentation par tableaux a été utilisée dans de nombreuses cultures – ancienne, médiévale, pré-moderne et moderne – afin de représenter simplement des théorèmes ou des algorithmes afin qu’ils soient largement compris dans un milieu spécifique. Ces tableaux étaient également conçus pour faciliter le raisonnement, les calculs, et plus généralement l’action. Ils peuvent également révéler des connaissances tacites, c’est-à-dire des relations numériques implicites dans un calcul, qui peuvent être reconnues dans ce milieu mais pas en dehors de sa culture spécifique. Ainsi, explorer la présentation des tableaux peut permettre de mieux comprendre les écrits numériques qui concernent les calculs, ainsi que la façon dont elle a permis d’innover et d’ouvrir à de nouveaux domaines de connaissance. Cet atelier nous invitera à réfléchir à l’interprétation des tableaux numériques et à tenter de comprendre comment ils peuvent nous aider à appréhender la culture des acteurs qui partagent ces connaissances et ces pratiques.

Odile Kouteynikoff (SPHERE) et Sabine Rommevaux (CNRS, SPHERE)

Sur les signes posés dans les opérations et les algorithmes dans les travaux de Stifel, Stevin et Clavius.

David Rabouin (CNRS, SPHERE)

Tableaux, algorithmes et algèbre dans le Commentaire à Al-Khwarizmi d’Adriaan Van Roomen.

Eleonora Sammarchi (SPHERE)

Les tableaux et leur règles de formation dans la tradition arithmético-algébrique. Quelques exemples selon la perspective d’al-Zanjani.

Robert Middeke-Conlin (SPHERE & ERC SAW)

Tabular Mathematic Texts from Ur and Elsewhere in the Old Babylonian Period.