Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

Roshdi Rashed

: : Éditions Walter De Gruyter, collection Scientia Graeco-Arabica

: : Novembre 2013

: : ISBN : 978-3-11-033685-6

: : e-ISBN : 978-3-11-033788-4

: : Print + eISBN : 978-3-11-033789-1

: : 349 pages

SOMMAIRE

PRÉFACE ......................................................................................................................................... V

CHAPITRE I : L’ALGÈBRE ET LE COMMENCEMENT DE L’ANALYSE DIOPHANTIENNE RATIONNELLE

1. Analyse de Diophante et analyse diophantienne .......................................................................... 1

2. Abū Kāmil : l’analyse diophantienne comme chapitre de l’algèbre ............................................... 2

• 2.1. Équations et systèmes d’équations du second degré ....................................................... 5
• 2.2. Analyse diophantienne rationnelle du premier degré ...................................................... 29
• 2.3. Analyse diophantienne entière du premier degré ............................................................ 33
• 2.4. Conclusion ....................................................................................................................... 35

3. Al-Karajî : une nouvelle organisation de l’analyse diophantienne 
rationnelle .............................. 36

• 3.1. Équations indéterminées du second degré ...................................................................... 40
• 3.2. Systèmes d’équations indéterminées du second degré ................................................... 58

4. L’analyse diophantienne rationnelle après al-Karajî : al-Samaw’al .............................................. 75

CHAPITRE II : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE ENTIÈRE DU SECOND DEGRÉ

Introduction ....................................................................................................................................... 79

1. Al-Khāzin : Les triangles rectangles numériques et les nombres congruents .............................. 85

2. Al-Sijzī et Abū al-Jūd (X^e siècle) ................................................................................................... 97

• 2.1. Al-Sijzī : géométrie des entiers et induction complète finie .............................................. 98
• 2.2. Abū al-Jūd ibn al-Layth ................................................................................................... 102

3. Fibonacci : Le Liber Quadratorum .............................................................................................. 110

4. Les congruences : Ibn al-Haytham, al-Khilāṭī et al-Yazdī ........................................................... 119

• 4.1. Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson ....................................................................... 119
• 4.2. Al-Yazdī et la solution de l’équation x₁²+x₂²+…+x_n²=x² ................................................ 125

CHAPITRE III : LES PROBLÈMES IMPOSSIBLES EN NOMBRES RATIONNELS ET LES PROBLÈMES INACCESSIBLES

1. La découverte des problèmes impossibles ................................................................................. 131

2. Problèmes impossibles et problèmes inaccessibles : la collection d’Ibn al-Khawwæm ............. 137

3. Analyse diophantienne et analyse logico-philosophique ............................................................ 157

CHAPITRE IV : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE, DE BOMBELLI À FERMAT

I. L’ANALYSE DE DIOPHANTE : DE BOMBELLI À BACHET ........................................................ 163

• 1.1. Diophante retrouvé : Bombelli, Gosselin, Stevin ............................................................. 165
  • 1.1.1. Rafael Bombelli ................................................................................................................................. 165
  • 1.1.2. Guillaume Gosselin de Caen ............................................................................................................ 167
  • 1.1.3. Simon Stevin ..................................................................................................................................... 171
• 1.2. François Viète : une nouvelle orientation de l’analyse de Diophante .............................. 174
• 1.3. Bachet de Méziriac : réactivation de l’analyse indéterminée ........................................... 205

II. FERMAT

• 2.1. La formation d’un projet : les traditions croisées ............................................................. 218
  • 2.1.1. L’année 1636 ..................................................................................................................................... 221
  • 2.1.2. Les recherches en théorie des nombres à partir des années 1636-1640 ......................................... 225
• 2.2. L’analyse diophantienne rationnelle ................................................................................. 240
  • 2.2.1. Les doubles équations ....................................................................................................................... 241
  • 2.2.2. La triple équation ............................................................................................................................... 250
  • 2.2.3. Équations indéterminées du troisième et quatrième degré ................................................................ 253
• 2.3. Les recherches en analyse diophantienne entière et en théorie des nombres :
  
  1640-1659 ............................................................................................................................... 261
  • 2.3.1. La descente infinie ............................................................................................................................. 263
  • 2.3.2. Les extensions de la méthode de la descente ................................................................................... 273
  • 2.3.3. Le théorème de [Pell]-Fermat ............................................................................................................ 290
  • 2.3.4. Le projet achevé ................................................................................................................................ 303

NOTES COMPLÉMENTAIRES

1. Deux problèmes inaccessibles ..................................................................................................... 311

• I. Équation y³+a=y², a entier, d’al-Karajī .................................................................................. 311
• II. Équation x⁴=ax³+bx d’al-Samaw’al ..................................................................................... 317

2. Frenicle : méthode de la descente infinie ..................................................................................... 321

APPENDICE : Ibn al-Khawwām , Faṣl fī dhikr al-masā’il allatī lā yumkin

an yu’tā bi-jawāb wāḥida minhā ........................................................................................................ 323

INDEX DES NOMS PROPRES ........................................................................................................ 327

INDEX DES CONCEPTS .................................................................................................................. 330

INDEX DES TRAITÉS ....................................................................................................................... 335

INDEX DES MANUSCRITS .............................................................................................................. 338

OUVRAGES CITÉS .......................................................................................................................... 339