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Accueil du site > Publications > Ouvrages parus > Histoire de l’analyse diophantienne classique : d’Abū Kamil à Fermat

Histoire de l’analyse diophantienne classique : d’Abū Kamil à Fermat





Roshdi Rashed



Cet ouvrage fournit la première étude de référence consacrée à l’histoire de l’analyse indéterminée (diophantienne) et de la théorie des nombres d’Abū Kamil à Fermat, soit du IXe au XVIIe siècle. Il offre ainsi une compréhension plus informée et plus fine sur un chapitre fondamental des mathématiques classiques et sur ses relations avec l’algèbre et les Arithmétiques de Diophante.





 :: Éditions Walter De Gruyter, collection Scientia Graeco-Arabica
 :: Novembre 2013
 :: ISBN : 978-3-11-033685-6
 :: e-ISBN : 978-3-11-033788-4
 :: Print + eISBN : 978-3-11-033789-1
 :: 349 pages

PDF - 266.3 ko




SOMMAIRE


PRÉFACE ......................................................................................................................................... V


CHAPITRE I : L’ALGÈBRE ET LE COMMENCEMENT DE L’ANALYSE DIOPHANTIENNE RATIONNELLE
1. Analyse de Diophante et analyse diophantienne .......................................................................... 1
2. Abū Kāmil : l’analyse diophantienne comme chapitre de l’algèbre ............................................... 2

  • 2.1. Équations et systèmes d’équations du second degré ....................................................... 5
  • 2.2. Analyse diophantienne rationnelle du premier degré ...................................................... 29
  • 2.3. Analyse diophantienne entière du premier degré ............................................................ 33
  • 2.4. Conclusion ....................................................................................................................... 35

3. Al-Karajî : une nouvelle organisation de l’analyse diophantienne 
rationnelle .............................. 36

  • 3.1. Équations indéterminées du second degré ...................................................................... 40
  • 3.2. Systèmes d’équations indéterminées du second degré ................................................... 58

4. L’analyse diophantienne rationnelle après al-Karajî : al-Samaw’al .............................................. 75


CHAPITRE II : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE ENTIÈRE DU SECOND DEGRÉ
Introduction ....................................................................................................................................... 79
1. Al-Khāzin : Les triangles rectangles numériques et les nombres congruents .............................. 85
2. Al-Sijzī et Abū al-Jūd (Xe siècle) ................................................................................................... 97

  • 2.1. Al-Sijzī : géométrie des entiers et induction complète finie .............................................. 98
  • 2.2. Abū al-Jūd ibn al-Layth ................................................................................................... 102

3. Fibonacci : Le Liber Quadratorum .............................................................................................. 110

4. Les congruences : Ibn al-Haytham, al-Khilāṭī et al-Yazdī ........................................................... 119

  • 4.1. Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson ....................................................................... 119
  • 4.2. Al-Yazdī et la solution de l’équation x12+x22+…+xn2=x2 ................................................ 125


CHAPITRE III : LES PROBLÈMES IMPOSSIBLES EN NOMBRES RATIONNELS ET LES PROBLÈMES INACCESSIBLES
1. La découverte des problèmes impossibles ................................................................................. 131
2. Problèmes impossibles et problèmes inaccessibles : la collection d’Ibn al-Khawwæm ............. 137
3. Analyse diophantienne et analyse logico-philosophique ............................................................ 157


CHAPITRE IV : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE, DE BOMBELLI À FERMAT
I. L’ANALYSE DE DIOPHANTE : DE BOMBELLI À BACHET ........................................................ 163

  • 1.1. Diophante retrouvé : Bombelli, Gosselin, Stevin ............................................................. 165
    • 1.1.1. Rafael Bombelli ................................................................................................................................. 165
    • 1.1.2. Guillaume Gosselin de Caen ............................................................................................................ 167
    • 1.1.3. Simon Stevin ..................................................................................................................................... 171
  • 1.2. François Viète : une nouvelle orientation de l’analyse de Diophante .............................. 174
  • 1.3. Bachet de Méziriac : réactivation de l’analyse indéterminée ........................................... 205

II. FERMAT

  • 2.1. La formation d’un projet : les traditions croisées ............................................................. 218
    • 2.1.1. L’année 1636 ..................................................................................................................................... 221
    • 2.1.2. Les recherches en théorie des nombres à partir des années 1636-1640 ......................................... 225
  • 2.2. L’analyse diophantienne rationnelle ................................................................................. 240
    • 2.2.1. Les doubles équations ....................................................................................................................... 241
    • 2.2.2. La triple équation ............................................................................................................................... 250
    • 2.2.3. Équations indéterminées du troisième et quatrième degré ................................................................ 253
  • 2.3. Les recherches en analyse diophantienne entière et en théorie des nombres :
    1640-1659 ............................................................................................................................... 261
    • 2.3.1. La descente infinie ............................................................................................................................. 263
    • 2.3.2. Les extensions de la méthode de la descente ................................................................................... 273
    • 2.3.3. Le théorème de [Pell]-Fermat ............................................................................................................ 290
    • 2.3.4. Le projet achevé ................................................................................................................................ 303


NOTES COMPLÉMENTAIRES
1. Deux problèmes inaccessibles ..................................................................................................... 311

  • I. Équation y3+a=y2, a entier, d’al-Karajī .................................................................................. 311
  • II. Équation x4=ax3+bx d’al-Samaw’al ..................................................................................... 317

2. Frenicle : méthode de la descente infinie ..................................................................................... 321


APPENDICE : Ibn al-Khawwām , Faṣl fī dhikr al-masā’il allatī lā yumkin
an yu’tā bi-jawāb wāḥida minhā ........................................................................................................ 323


INDEX DES NOMS PROPRES ........................................................................................................ 327
INDEX DES CONCEPTS .................................................................................................................. 330
INDEX DES TRAITÉS ....................................................................................................................... 335
INDEX DES MANUSCRITS .............................................................................................................. 338


OUVRAGES CITÉS .......................................................................................................................... 339