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Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abu Kamil à Fermat





Roshdi Rashed



This is the first study of the history of Diophantine analysis and the theory of numbers from Abū Kāmil to Fermat (9th-17th century). It thus offers an elaborate and detailed overview on a fundamental chapter on classical mathematical thought and its relation to algebra and Diophantus’ Arithmetica.





 :: Éditions Walter De Gruyter, collection Scientia Graeco-Arabica
 :: Novembre 2013
 :: ISBN : 978-3-11-033685-6
 :: e-ISBN : 978-3-11-033788-4
 :: Print + eISBN : 978-3-11-033789-1
 :: 349 pages

PDF - 266.3 ko




SOMMAIRE


PRÉFACE ...................................................................................................................................... V


CHAPITRE I : L’ALGÈBRE ET LE COMMENCEMENT DE L’ANALYSE DIOPHANTIENNE RATIONNELLE
1. Analyse de Diophante et analyse diophantienne .......................................................................... 1
2. Abū Kāmil : l’analyse diophantienne comme chapitre de l’algèbre .............................................. 2

  • 2.1. Équations et systèmes d’équations du second degré ....................................................... 5
  • 2.2. Analyse diophantienne rationnelle du premier degré ...................................................... 29
  • 2.3. Analyse diophantienne entière du premier degré ............................................................ 33
  • 2.4. Conclusion ....................................................................................................................... 35

3. Al-Karajî : une nouvelle organisation de l’analyse diophantienne 
rationnelle .............................. 36

  • 3.1. Équations indéterminées du second degré ...................................................................... 40
  • 3.2. Systèmes d’équations indéterminées du second degré ................................................... 58

4. L’analyse diophantienne rationnelle après al-Karajî : al-Samaw’al .............................................. 75


CHAPITRE II : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE ENTIÈRE DU SECOND DEGRÉ
Introduction ....................................................................................................................................... 79
1. Al-Khāzin : Les triangles rectangles numériques et les nombres congruents .............................. 85
2. Al-Sijzī et Abū al-Jūd (Xe siècle) ................................................................................................... 97

  • 2.1. Al-Sijzī : géométrie des entiers et induction complète finie .............................................. 98
  • 2.2. Abū al-Jūd ibn al-Layth ................................................................................................... 102

3. Fibonacci : Le Liber Quadratorum .............................................................................................. 110

4. Les congruences : Ibn al-Haytham, al-Khilāṭī et al-Yazdī ........................................................... 119

  • 4.1. Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson ....................................................................... 119
  • 4.2. Al-Yazdī et la solution de l’équation x12+x22+…+xn2=x2 ................................................ 125


CHAPITRE III : LES PROBLÈMES IMPOSSIBLES EN NOMBRES RATIONNELS ET LES PROBLÈMES INACCESSIBLES
1. La découverte des problèmes impossibles ................................................................................. 131
2. Problèmes impossibles et problèmes inaccessibles : la collection d’Ibn al-Khawwæm ............. 137
3. Analyse diophantienne et analyse logico-philosophique ............................................................ 157


CHAPITRE IV : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE, DE BOMBELLI À FERMAT
I. L’ANALYSE DE DIOPHANTE : DE BOMBELLI À BACHET ........................................................ 163

  • 1.1. Diophante retrouvé : Bombelli, Gosselin, Stevin ............................................................. 165
    • 1.1.1. Rafael Bombelli ................................................................................................................................. 165
    • 1.1.2. Guillaume Gosselin de Caen ............................................................................................................ 167
    • 1.1.3. Simon Stevin ..................................................................................................................................... 171
  • 1.2. François Viète : une nouvelle orientation de l’analyse de Diophante .............................. 174
  • 1.3. Bachet de Méziriac : réactivation de l’analyse indéterminée ........................................... 205

II. FERMAT

  • 2.1. La formation d’un projet : les traditions croisées ............................................................. 218
    • 2.1.1. L’année 1636 ..................................................................................................................................... 221
    • 2.1.2. Les recherches en théorie des nombres à partir des années 1636-1640 ......................................... 225
  • 2.2. L’analyse diophantienne rationnelle ................................................................................. 240
    • 2.2.1. Les doubles équations ....................................................................................................................... 241
    • 2.2.2. La triple équation ............................................................................................................................... 250
    • 2.2.3. Équations indéterminées du troisième et quatrième degré ................................................................ 253
  • 2.3. Les recherches en analyse diophantienne entière et en théorie des nombres :
    1640-1659 ............................................................................................................................... 261
    • 2.3.1. La descente infinie ............................................................................................................................. 263
    • 2.3.2. Les extensions de la méthode de la descente ................................................................................... 273
    • 2.3.3. Le théorème de [Pell]-Fermat ............................................................................................................ 290
    • 2.3.4. Le projet achevé ................................................................................................................................ 303


NOTES COMPLÉMENTAIRES
1. Deux problèmes inaccessibles ..................................................................................................... 311

  • I. Équation y3+a=y2, a entier, d’al-Karajī .................................................................................. 311
  • II. Équation x4=ax3+bx d’al-Samaw’al ..................................................................................... 317

2. Frenicle : méthode de la descente infinie ..................................................................................... 321


APPENDICE : Ibn al-Khawwām , Faṣl fī dhikr al-masā’il allatī lā yumkin
an yu’tā bi-jawāb wāḥida minhā ........................................................................................................ 323


INDEX DES NOMS PROPRES ........................................................................................................ 327
INDEX DES CONCEPTS .................................................................................................................. 330
INDEX DES TRAITÉS ....................................................................................................................... 335
INDEX DES MANUSCRITS .............................................................................................................. 338


OUVRAGES CITÉS ........................................................................................................................... 339