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Axis History and Philosophy of Mathematics

History and Philosophy of Mathematics

The seminar is the meeting point between different SPHere teams that are interested in mathematics. It fosters dialogue between philosophers and historians of mathematics while focusing on textual sources. Speakers are encouraged to make their sources available to the participants.

Coordination: Arilès Remaki, Azmiya Padavia, Alexis Trouillot, (University of Paris, ED 623, SPHere).


Thanks to Charlotte de Varent, Simon Decaens, Marie-José Durand-Richard, Emmylou Haffner, Arilès Remaki, Adeline Reynaud & Eleonora Sammarchi, who proudly provided the coordination of the seminar for the previous years.

Archives
2009-2010, 2010-2011, 2011-2012,
2012-2013, 2013-2014, 2014-2015,
2015-2016, 2016-2017, 2017-2018,
2018-2019, 2019-2020, 2020-2021

PROGRAM 2021-2022


The monthly sessions always take place at the University of Paris, Diderot PRG campus, on Mondays,
9: 30–17: 00 or 9: 30–13: 00, in Room Rothko, 412B, Condorcet Building, Seine side, 4, rue Elsa Morante, 75013 Paris * (access map)
Date Time Theme Organization
2021/10/18 9:30am-1pm Presentation of the works of young researchers A. Trouillot
11/08 9:30am-1pm Polynomials: Elements of a Global History (II) K. Chemla
12/06 9am-5:30pm On the Letters of A. Dettonville: what infinity in calculations? João F. N. Cortese
2022/01/10 tba Logic & Space D. Rabouin & B. Halimi
02/07 tba Fundamental figures A. Keller
03/07 tba Day on imaginaries S. Confalonieri
04/11 tba Experiences & riments in mathematics E. Haffner
05/09 tba Diagram and Calculation K. Chemla
& A. Remaki
06/13 tba History of Axiomatics V. de Risi



Monday October 18, 9:15am–1pm, Room Rothko, 412B, and webconference

:: Presentation of the work of young researchers

Session organised by A. Trouillot

  • 9:15am - 10am : Guillaume Loizelet (Université de Toulouse & ED 623, SPHere) –via Zoom
    Le Livre des Hypothèses de Ptolémée : ce qu’il contient, ce qui en a été transmis, et ce qu’on y a lu
    Les dimensions célestes déterminées au IIe siècle par Ptolémée dans le Livre des hypothèses ont constitué l’ordre de grandeur du cosmos jusqu’au XVIe siècle. Nous ne savons ceci que depuis 1967 et la redécouverte, non fortuite, de la seconde partie du livre I. Il ne s’agit ici que de l’un des derniers rebondissements de l’histoire chaotique de la transmission du Livre des hypothèses. Bien que nous disposions désormais de deux manuscrits complets de la version arabe du Livre des hypothèses, le sens de nombreux passages du Livre II reste encore difficile à élucider. Dans notre communication nous montrerons comment l’analyse du texte arabe de la seconde partie du Livre I permet de retrouver la cohérence interne du traité de Ptolémée, et par là de comprendre comment le Livre des hypothèses a été lu dans l’Antiquité tardive ainsi que l’influence qu’il a pu avoir sur les astronomes médiévaux arabes puis latins.
  • 10am - 11am : Alban Da Silva (Université de Paris, ED623, SPHere) –via Zoom
    La pratique de dessin sur le sable du Vanuatu : une approche ethnomathématique
    Il existe dans les sociétés traditionnelles du Vanuatu (Pacifique Sud) une activité culturelle consistant à dessiner, à même le sol, des figures symétriques à l’aide d’un doigt. Le dessinateur produit une ligne continue qui ne repasse pas continument sur elle-même, il ne lève pas le doigt durant le tracé et il finit son dessin à l’endroit où il l’a commencé.
    Je présenterai la méthodologie – à la frontière des mathématiques, de l’informatique et de l’anthropologie – que j’ai déployée pour rendre compte de la dimension mathématique de cette pratique. Je montrerai en particulier que l’enquête ethnographique que j’ai menée, notamment sur l’île de Pentecôte, m’a permis d’élaborer un modèle qui décrit fidèlement certains traits de cette pratique. Ce modèle permet 1/ de réécrire la réalisation de certains dessins comme des algorithmes et des opérations algébriques, 2/ d’examiner les méthodes expertes comme des recherches de chemins eulériens dans un graphe. La discussion pourra s’orienter sur les aspects épistémologiques de ce travail : les dessins peuvent-ils être considérés comme des traces matérielles « d’idées mathématiques », au sens ou l’entendait l’ethnomathématicienne Marcia Ascher ?
  • 11am - 12am : Alexis Trouillot (Université de Paris, ED623, SPHere)
    Intersexes et héritages : sur un problème juridique et mathématique saharien
    Un problème souvent mentionné dans le cadre des divisions de l’héritage musulman est lié a la figure de l’intersexe. A la fois homme et femme, sa présence introduit une complexité dans les calculs que les praticiens ne manquent pas de souligner.
    Nous allons ici regarder deux utilisations de cette figure dans les textes d’un érudit Mauritanien du 19e siècle, Sīdiyyā al-kabīr. Dans son traité sur les partages successoraux, cette figure intervient notamment pour apporter un commentaire à ce qui représente une exception dans les règles de divisions musulmane. Dans un second temps, nous regarderons une fatwa dans laquelle il utilise les intersexes pour créer un problème non seulement pour les juristes, mais aussi pour les arithméticiens.
  • 12am - 1pm : Pierre Chaigneau (SPHere)
    L’évolution de la démarche historiographique de Neugebauer des années 1930 à The Exact Sciences in Antiquity, 1952
    On trouve la numération sexagésimale de position dans les textes cunéiformes édités pour la première fois par Otto Neugebauer et François Thureau-Dangin dans les années 1930. La manière dont ces éditeurs se sont frottés à elle a eu une énorme influence sur la compréhension de ces textes, innovante par bien des aspects, mais subtilement blocante d’un autre côté. Retour sur un moment clé de l’historiographie des mathématiques cunéiformes d’après ma thèse soutenue en 2019



November 8, Room Rothko, 412B, Building Condorcet, Univ. de Paris

Polynomials: Elements of a Global History —II
Session organized by K. Chemla (CNRS, SPHere)
The historiography of medieval and modern mathematics proposes to identify, in texts in Arabic of the 12th century, in texts in Chinese of the 13th century, in Italian texts of the 14th century, and in many others, the introduction of “Polynomials” and the development of knowledge and practices about them, without really comparing them with each other, or even addressing the question of possible historical links between them. In these various contexts where a modern reader sees "polynomials", are they the same entities, and if not, how are they different? What were, here and there, the functions which were devolved to them, the notations which were associated with them, and what operations were applied to them? What types of links did the actors forge, in the various contexts, between themselves and other mathematical entities with which they articulated them? Can we grasp the historical processes at the end of which these “polynomial” entities were introduced? How can this examination shed light on the modern concept of the polynomial and its ancient relatives? These are some of the questions to which we will seek to collectively develop answers.

  • 9:30am - 10am : K. Chemla & al.
    An overview of the bibliography on the subject
  • 10am - 11am : Roy Wagner (ETH)
    Algebraic terms avant la lettre
    in this talk I will discuss the emergence of practices that are usually associated with explicitly algebraic letter-unknowns. The main claim is that pre-algebraic mathematical practices from the spheres of economy arithmetic already include practices that will later be projected on algebraic letter-unknowns, letter-parameters and letter-variables (mostly from late medieval Italy, perhaps also from India). In that sense polynomials consolidate and coordinate previous practices around specific signs, rather than simply introduce new mathematical practices. This approach may be more generally useful to contend with the problem of anachronistic interpretations in the history of mathematics by shifting our focus from concepts to practices.
  • 11am - 11:15am Break
  • 11:15am - 12:15am
    David Rabouin (CNRS, SPHere & ERC Philiumm) & Eleonora Sammarchi (ETH)
    Polynomials as types of numbers during the Renaissance: Stevin and the cossic tradition
    By the end of the 16th century, just before the emergence of the so-called “symbolic” algebra, two main traditions are developed. Although connected, these traditions do not work on the same mathematical object. According to the first one, algebra consists in the resolution of problems on unknown quantities, and is focused on the “question”, or equation. The second one conceives algebra as an extension of arithmetic that deals with new kinds of numbers. Simon Stevin belongs to this second tradition. In his work he refers to “algebraic numbers”, and designates their composition as “multinomie algébrique”. His approach was not completely new, and was especially influenced by the cossic tradition. There too, new numbers – called “cossic numbers”– were introduced as an extension of ordinary numbers. This led the Rechenmeister to specify the rules for the operations on what we call polynomials. In this talk, we describe this textual tradition by taking as a starting – and end – point the algebra of Stevin, and by examining some extracts from the treatises of Rechenmeister such as Rudolff, Scheubel, Mehner, Curtius, Kandler, and Henisch.

Bibliography prepared by K. Chemla, S. Confalonieri, A. Keller, O. Kouteynikoff, D. Rabouin, Eleonora Sammarchi :

  • DATTA, Bibhutibhusan, et Avadhesh Narayan SINGH, History of Hindu Mathematics. Vol. 2. Lahore: Motilal Banarsidass, 1938. p. 9-35
  • FARÈS, Nicolas, As-Samawal, chapitre 4 de Naissance et développement de l’algèbre dans la tradition mathématique arabe, Beyrouth, 2017.
  • HAYASHI, Takao. « Bījagaṇita of Bhāskara ». SCIAMVS Sources and Commentaries in Exact Sciences 10 (2009): 3 301. p. 110-117 et p. 129-130
  • LI Yan, and DU Shiran. (J. N. Crossley and A. W. C. Lun, trans.) (1987) Chinese mathematics: a concise history. Oxford [England]: Clarendon Press, p. 135-148.
  • Ken Manders. “Algebra in Roth, Faulhaber and Descartes”. Historia Mathematica, 2006, 33, p. 184–209.
  • OAKS, Jeffrey. « Polynomials and Equations in Arabic Algebra », Archive for history of exact sciences, 63, 2009, p. 169–203.
    OAKS, Jeffrey. « Polynomials and Equations in medieval Italian algebra », Bollettino di storia delle scienze matematiche, 30, 2010, p. 23–60.
  • Rashed, Roshdi. « L’extraction de la racine nième et l’Invention des fractions décimales (XIe-XIIe Siècles) », Archive for history of exact sciences 18, 1978, p. 191-243. En particulier les pages 220-226
  • Stedall, Jacqueline. From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra, EMS, 2011



December 6, 2021, 9am – 5:30pm, Room Malevitch, 483A, & webconference

To participate online, we thank you by advance to write latest 24h before the session to A. Remaki (ariles.remaki@ens-lyon.org) with the keyword "0612zoomHPM" as subject

:: On the Lettres de A. Dettonville : what infinity in calculations?

Session organised by J. Cortese (University of São Paulo, & SPHere)

This thematic day of the History and Philosophy of Mathematics seminar considers the discussion of the status of infinity in the method of indivisibles. In particular, in the Lettres de A. Dettonville, of Blaise Pascal, one finds calculations of centers of gravity which resume and which go beyond the Archimedean tradition; on the other hand, the calculation of areas and volume makes this treatise a sort of prehistory of integral calculus before the work of Leibniz. All the procedures of this method are based on undefined divisions - but what is the status of these divisions in the foundation of the method? Different visions have been proposed on this subject, and the day will aim to highlight the different aspects of this discussion to move it forward.

Introduction of K. Hara to ’Lettres de Dettonville’


  • 9:00am - 9:15am : Presentation
  • 9:15am - 10:30am : Jean Dhombres (EHESS)
    L’aventure de l’indéfini dans les Traités de la roulette de Pascal et sa postérité chez les commentateurs
    L’expression « nombre indéfini » pour la division en parties d’une courbe comme la roulette est fréquente dans les Lettres de A. Dettonville, accompagnée explicitement d’une hypothèse, un « étant donné » qui est la connaissance du rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre. C’est un ajout formidable aux Données d’Euclide que Claude Hardy avait remis au goût du jour. La rectification d’un cercle est le requis du calcul pascalien sur les divisions en nombre indéfini. La quadrature dudit cercle est de facto mise de côté. Les exégètes, à juste titre, se sont exercés sur la signification de cet indéfini qui a en partie sa source chez Roberval, et a fait chez Leibniz l’objet d’un récit d’initiation. Si je peux parcourir quelques commentaires sur le corpus pascalien, je force sans doute les mots en liant à l’expression, certes absente de chez Pascal, d’intégrale indéfinie. Elle permet d’envisager la sommation comme une fonction, la valeur par exemple de la longueur d’un arc quelconque de roulette, trouvée par le tout jeune Christopher Wren en plein déroulement du défi de Pascal, et qui l’a contraint à modifier les questions. Il fallait donc beaucoup plus que la connaissance (?) du nombre π, avec celle de la longueur de tout arc de cercle. C’était aussi hisser au rang de discipline analytique la trigonométrie, dénommée moins d’un siècle plus tôt, offrant l’exemple peut-être majeur des courbes transcendantes, et d’ailleurs la courbe sinus s’exprimait comme « compagne de la roulette ». J’interroge ainsi Pascal au cœur de son dispositif d’hypothèses nécessaires à la poursuite des mathématiques, et sous la forme d’un « pari » qui le conduisit à montrer que la rectification indéfinie d’une roulette généralisée était liée à celle de l’ellipse. C’était bien loin du nombre indéfini réduit à une simple astuce pour entrer sur un nouveau terrain.
  • 10:30am - 10:45am : Break
  • 10:45am - 12:00am : Claude Merker (IREM of Besançon)
    La méthode des indivisibles de Pascal: en réalité, une méthode à différentielles géométriques
    C’est dans la première Lettre de Dettonville que Pascal met en place clairement différentes sortes de “sommes” dont les nombreuses métamorphoses résoudront les problèmes de roulette. Les objets mathématiques à l’œuvre sont les “petites portions” nées d’un nombre indéfini de divisions égales sur une ligne. Nous nous proposons de regarder en quoi cet objet ressemble par avance à une différentielle leibnizienne, et en quoi il en diffère. Nous nous proposons aussi de donner une idée du déroulement des calculs car les calculs font parfois apparaître des choses inattendues.
  • 1:30pm - 2:45pm : Sébastien Maronne (Département de Mathématiques de l’Université de Toulouse III Paul Sabatier, & IMT)
    Le style des Données dans les Lettres de A. Dettonville
    Dans mon exposé, j’étudierai la définition, nouvelle, proposée par Pascal dans l’un des « Avertissements » des Lettres de A. Dettonville d’’espace donné ou connu’ et de ‘raison donnée ou connue’. Pour ce faire, je les comparerai aux définitions qu’on trouve dans les Données d’Euclide éditées quelques années plus tôt, en 1625, par Claude Hardy. J’examinerai ensuite l’usage pratique qui est fait par Pascal de ces définitions dans les solutions des problèmes de quadrature des Lettres de A. Dettonville dans le contexte du concours de la roulette. Je considérerai enfin les Réflexions sur la géométrie en général pour déterminer dans quelle mesure de telles définitions rencontre des échos dans les discussions sur l’infini du recueil.
  • 2:45pm - 3pm : Break
  • 3pm - 415pm : Dominique Descotes (Université Clemront 2, IHRIM)
    Infini, indivisible et la question du genre littéraire chez Pascal
    Un même sens change selon les paroles qui l’expriment. Les sens reçoivent des paroles leur dignité au lieu de la leur donner. Il en faut chercher des exemples" (Pensées, Laf. 789, Sel. 645).
    "Masquer la nature et la déguiser. Plus de roi, de pape, d’évêque, mais auguste monarque etc... Point de Paris, capitale du royaume. Il y a des lieux où il faut appeler Paris, Paris et d’autres où il la faut appeler capitale du royaume" (Pensées, Laf. 509, Sel. 669).
    "Carrosse versé ou renversé selon l’intention" (Pensées, Laf. 579, Sel. 482).
    "Honnête homme. Il faut qu’on n’en puisse dire ni il est mathématicien, ni prédicateur, ni éloquent mais il est honnête homme. Cette qualité universelle me plaît seule. Quand en voyant un homme on se souvient de son livre, c’est mauvais signe. Je voudrais qu’on ne s’aperçût d’aucune qualité que par la rencontre et l’occasion d’en user, ne quid nimis, de peur qu’une qualité ne l’emporte et ne fasse baptiser ; qu’on ne songe point qu’il parle bien, sinon quand il s’agit de bien parler, mais qu’on y songe alors" (Pensées, Laf. 647, Sel. 532).
    La manière dont Pascal parle des infinis, des indéfinis et des indivisibles obéit-elle à cette règle ?
  • 4:15pm - 5:30pm : Roundtable:
    Sandra Bella (Erc Philiumm), Valérie Debuiche (Université d’Aix-Marseille, Centre Granger), João F. N. Cortese (University of São Paulo, & SPHere)
    L’importance de l’œuvre de Pascal et son héritage pour la postérité






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