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Axis History and Philosophy of Mathematics

History and Philosophy of Mathematics

The seminar is the meeting point between different SPHere teams that are interested in mathematics. It fosters dialogue between philosophers and historians of mathematics while focusing on textual sources. Speakers are encouraged to make their sources available to the participants.

Coordination : Clément Bonvoisin, Arilès Remaki, Azmiya Padavia, (University of Paris, ED 623, SPHere).


Thanks to Charlotte de Varent, Simon Decaens, Marie-José Durand-Richard, Emmylou Haffner, Arilès Remaki, Adeline Reynaud & Eleonora Sammarchi and Alexis Trouillot, who proudly provided the coordination of the seminar for the previous years.

Archives
2009-2010, 2010-2011, 2011-2012,
2012-2013, 2013-2014, 2014-2015,
2015-2016, 2016-2017, 2017-2018,
2018-2019, 2019-2020, 2020-2021,
2021-2022


PROGRAM 2022-2023


The monthly sessions at the University Paris Cité, PRG campus, on Mondays,
9 : 30am–5pm, in Room Rothko, 412B, Condorcet Building, Seine side, 4, rue Elsa Morante, 75013 Paris * (access map).
Schedule Thema
2022/10/17 !!
afternoon :
Room 379F, Halle aux Farines
Study Day of presentation of the History and Philosophy of Mathematics axes
2022//11 Diagram & Time
2022/12/05 Non-Archimedean Geometries
2023/01/16 Geometry, Calculus and Astronomy
2023/02/13 Military Mathematics
2023/03/13 Mathematics during the German occupation
2023/04/17 Diagrams at Modern Age
2023/05/15 Polynomials (III)
2023/06/12 History of Axiomatics (II)

The program of the first semester will be displayed on this page in Septembre-October and will replace the 2021-22 one below.


PROGRAM 2021-2022


The monthly sessions at the University Paris Cité, PRG campus, on Mondays,
9 : 30am–5pm or 9 : 30am–1pm, in Room Rothko, 412B, Condorcet Building, Seine side, 4, rue Elsa Morante, 75013 Paris * (access map)
Date Time Theme Organization
2021/10/18 9:30am-1pm Presentation of the works of young researchers A. Trouillot
11/08 9:30am-1pm Polynomials : Elements of a Global History (II) K. Chemla
12/06 9am-5:30pm On the Letters of A. Dettonville : what infinity in calculations ? João F. N. Cortese
2022/01/10 9:30am–3:30pm Logic & Geometry D. Rabouin
& B. Halimi
02/07 9:30am–1:15pm Fundamental figures A. Keller
& K. Chemla
03/07 9:30am–1pm Counter-stories of imaginaries S. Confalonieri
& D. Rabouin
04/11 9:30am–3:15pm Experiences & experiments in mathematics E. Haffner
05/23 9:30am–4:30pm Diagram and Computation, & Greek Notations K. Chemla, N. Michel & A. Remaki
06/13 9am–4:30pm Theories of Axioms in the 17th Century V. de Risi



Monday October 18, 9:15am – 1pm, Room Rothko, 412B, and webconference

: : Presentation of the work of young researchers

Session organised by A. Trouillot

  • 9:15am - 10am : Guillaume Loizelet (Université de Toulouse & ED 623, SPHere) –via Zoom
    Le Livre des Hypothèses de Ptolémée : ce qu’il contient, ce qui en a été transmis, et ce qu’on y a lu
    Les dimensions célestes déterminées au IIe siècle par Ptolémée dans le Livre des hypothèses ont constitué l’ordre de grandeur du cosmos jusqu’au XVIe siècle. Nous ne savons ceci que depuis 1967 et la redécouverte, non fortuite, de la seconde partie du livre I. Il ne s’agit ici que de l’un des derniers rebondissements de l’histoire chaotique de la transmission du Livre des hypothèses. Bien que nous disposions désormais de deux manuscrits complets de la version arabe du Livre des hypothèses, le sens de nombreux passages du Livre II reste encore difficile à élucider. Dans notre communication nous montrerons comment l’analyse du texte arabe de la seconde partie du Livre I permet de retrouver la cohérence interne du traité de Ptolémée, et par là de comprendre comment le Livre des hypothèses a été lu dans l’Antiquité tardive ainsi que l’influence qu’il a pu avoir sur les astronomes médiévaux arabes puis latins.
  • 10am - 11am : Alban Da Silva (Université Paris Cité, ED623, SPHere) –via Zoom
    La pratique de dessin sur le sable du Vanuatu : une approche ethnomathématique
    Il existe dans les sociétés traditionnelles du Vanuatu (Pacifique Sud) une activité culturelle consistant à dessiner, à même le sol, des figures symétriques à l’aide d’un doigt. Le dessinateur produit une ligne continue qui ne repasse pas continument sur elle-même, il ne lève pas le doigt durant le tracé et il finit son dessin à l’endroit où il l’a commencé.
    Je présenterai la méthodologie – à la frontière des mathématiques, de l’informatique et de l’anthropologie – que j’ai déployée pour rendre compte de la dimension mathématique de cette pratique. Je montrerai en particulier que l’enquête ethnographique que j’ai menée, notamment sur l’île de Pentecôte, m’a permis d’élaborer un modèle qui décrit fidèlement certains traits de cette pratique. Ce modèle permet 1/ de réécrire la réalisation de certains dessins comme des algorithmes et des opérations algébriques, 2/ d’examiner les méthodes expertes comme des recherches de chemins eulériens dans un graphe. La discussion pourra s’orienter sur les aspects épistémologiques de ce travail : les dessins peuvent-ils être considérés comme des traces matérielles « d’idées mathématiques », au sens ou l’entendait l’ethnomathématicienne Marcia Ascher ?
  • 11am - 12am : Alexis Trouillot (Université Paris Cité, ED623, SPHere)
    Intersexes et héritages : sur un problème juridique et mathématique saharien
    Un problème souvent mentionné dans le cadre des divisions de l’héritage musulman est lié a la figure de l’intersexe. A la fois homme et femme, sa présence introduit une complexité dans les calculs que les praticiens ne manquent pas de souligner.
    Nous allons ici regarder deux utilisations de cette figure dans les textes d’un érudit Mauritanien du 19e siècle, Sīdiyyā al-kabīr. Dans son traité sur les partages successoraux, cette figure intervient notamment pour apporter un commentaire à ce qui représente une exception dans les règles de divisions musulmane. Dans un second temps, nous regarderons une fatwa dans laquelle il utilise les intersexes pour créer un problème non seulement pour les juristes, mais aussi pour les arithméticiens.
  • 12am - 1pm : Pierre Chaigneau (SPHere)
    L’évolution de la démarche historiographique de Neugebauer des années 1930 à The Exact Sciences in Antiquity, 1952
    On trouve la numération sexagésimale de position dans les textes cunéiformes édités pour la première fois par Otto Neugebauer et François Thureau-Dangin dans les années 1930. La manière dont ces éditeurs se sont frottés à elle a eu une énorme influence sur la compréhension de ces textes, innovante par bien des aspects, mais subtilement blocante d’un autre côté. Retour sur un moment clé de l’historiographie des mathématiques cunéiformes d’après ma thèse soutenue en 2019



November 8, Room Rothko, 412B, Building Condorcet, Univ. Paris Cité

Polynomials : Elements of a Global History —II
Session organized by K. Chemla (CNRS, SPHere)
The historiography of medieval and modern mathematics proposes to identify, in texts in Arabic of the 12th century, in texts in Chinese of the 13th century, in Italian texts of the 14th century, and in many others, the introduction of “Polynomials” and the development of knowledge and practices about them, without really comparing them with each other, or even addressing the question of possible historical links between them. In these various contexts where a modern reader sees "polynomials", are they the same entities, and if not, how are they different ? What were, here and there, the functions which were devolved to them, the notations which were associated with them, and what operations were applied to them ? What types of links did the actors forge, in the various contexts, between themselves and other mathematical entities with which they articulated them ? Can we grasp the historical processes at the end of which these “polynomial” entities were introduced ? How can this examination shed light on the modern concept of the polynomial and its ancient relatives ? These are some of the questions to which we will seek to collectively develop answers.

  • 9:30am - 10am : K. Chemla & al.
    An overview of the bibliography on the subject
  • 10am - 11am : Roy Wagner (ETH)
    Algebraic terms avant la lettre
    in this talk I will discuss the emergence of practices that are usually associated with explicitly algebraic letter-unknowns. The main claim is that pre-algebraic mathematical practices from the spheres of economy arithmetic already include practices that will later be projected on algebraic letter-unknowns, letter-parameters and letter-variables (mostly from late medieval Italy, perhaps also from India). In that sense polynomials consolidate and coordinate previous practices around specific signs, rather than simply introduce new mathematical practices. This approach may be more generally useful to contend with the problem of anachronistic interpretations in the history of mathematics by shifting our focus from concepts to practices.
  • 11am - 11:15am Break
  • 11:15am - 12:15am
    David Rabouin (CNRS, SPHere & ERC Philiumm) & Eleonora Sammarchi (ETH)
    Polynomials as types of numbers during the Renaissance : Stevin and the cossic tradition
    By the end of the 16th century, just before the emergence of the so-called “symbolic” algebra, two main traditions are developed. Although connected, these traditions do not work on the same mathematical object. According to the first one, algebra consists in the resolution of problems on unknown quantities, and is focused on the “question”, or equation. The second one conceives algebra as an extension of arithmetic that deals with new kinds of numbers. Simon Stevin belongs to this second tradition. In his work he refers to “algebraic numbers”, and designates their composition as “multinomie algébrique”. His approach was not completely new, and was especially influenced by the cossic tradition. There too, new numbers – called “cossic numbers”– were introduced as an extension of ordinary numbers. This led the Rechenmeister to specify the rules for the operations on what we call polynomials. In this talk, we describe this textual tradition by taking as a starting – and end – point the algebra of Stevin, and by examining some extracts from the treatises of Rechenmeister such as Rudolff, Scheubel, Mehner, Curtius, Kandler, and Henisch.

Bibliography prepared by K. Chemla, S. Confalonieri, A. Keller, O. Kouteynikoff, D. Rabouin, Eleonora Sammarchi :

  • DATTA, Bibhutibhusan, et Avadhesh Narayan SINGH, History of Hindu Mathematics. Vol. 2. Lahore : Motilal Banarsidass, 1938. p. 9-35
  • FARÈS, Nicolas, As-Samawal, chapitre 4 de Naissance et développement de l’algèbre dans la tradition mathématique arabe, Beyrouth, 2017.
  • HAYASHI, Takao. « Bījagaṇita of Bhāskara ». SCIAMVS Sources and Commentaries in Exact Sciences 10 (2009) : 3 301. p. 110-117 et p. 129-130
  • LI Yan, and DU Shiran. (J. N. Crossley and A. W. C. Lun, trans.) (1987) Chinese mathematics : a concise history. Oxford [England] : Clarendon Press, p. 135-148.
  • Ken Manders. “Algebra in Roth, Faulhaber and Descartes”. Historia Mathematica, 2006, 33, p. 184–209.
  • OAKS, Jeffrey. « Polynomials and Equations in Arabic Algebra », Archive for history of exact sciences, 63, 2009, p. 169–203.
    OAKS, Jeffrey. « Polynomials and Equations in medieval Italian algebra », Bollettino di storia delle scienze matematiche, 30, 2010, p. 23–60.
  • Rashed, Roshdi. « L’extraction de la racine nième et l’Invention des fractions décimales (XIe-XIIe Siècles) », Archive for history of exact sciences 18, 1978, p. 191-243. En particulier les pages 220-226
  • Stedall, Jacqueline. From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections : filling a gap in the history of algebra, EMS, 2011



December 6, 2021, 9am – 5:30pm, Room Malevitch, 483A, & webconference

: : On the Lettres de A. Dettonville : what infinity in calculations ?

Session organised by J. Cortese (University of São Paulo, & SPHere)

This thematic day of the History and Philosophy of Mathematics seminar considers the discussion of the status of infinity in the method of indivisibles. In particular, in the Lettres de A. Dettonville, of Blaise Pascal, one finds calculations of centers of gravity which resume and which go beyond the Archimedean tradition ; on the other hand, the calculation of areas and volume makes this treatise a sort of prehistory of integral calculus before the work of Leibniz. All the procedures of this method are based on undefined divisions - but what is the status of these divisions in the foundation of the method ? Different visions have been proposed on this subject, and the day will aim to highlight the different aspects of this discussion to move it forward.

Introduction of K. Hara to ’Lettres de Dettonville’


  • 9:00am - 9:15am : Presentation
  • 9:15am - 10:30am : Jean Dhombres (EHESS)
    L’aventure de l’indéfini dans les Traités de la roulette de Pascal et sa postérité chez les commentateurs
    L’expression « nombre indéfini » pour la division en parties d’une courbe comme la roulette est fréquente dans les Lettres de A. Dettonville, accompagnée explicitement d’une hypothèse, un « étant donné » qui est la connaissance du rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre. C’est un ajout formidable aux Données d’Euclide que Claude Hardy avait remis au goût du jour. La rectification d’un cercle est le requis du calcul pascalien sur les divisions en nombre indéfini. La quadrature dudit cercle est de facto mise de côté. Les exégètes, à juste titre, se sont exercés sur la signification de cet indéfini qui a en partie sa source chez Roberval, et a fait chez Leibniz l’objet d’un récit d’initiation. Si je peux parcourir quelques commentaires sur le corpus pascalien, je force sans doute les mots en liant à l’expression, certes absente de chez Pascal, d’intégrale indéfinie. Elle permet d’envisager la sommation comme une fonction, la valeur par exemple de la longueur d’un arc quelconque de roulette, trouvée par le tout jeune Christopher Wren en plein déroulement du défi de Pascal, et qui l’a contraint à modifier les questions. Il fallait donc beaucoup plus que la connaissance (?) du nombre π, avec celle de la longueur de tout arc de cercle. C’était aussi hisser au rang de discipline analytique la trigonométrie, dénommée moins d’un siècle plus tôt, offrant l’exemple peut-être majeur des courbes transcendantes, et d’ailleurs la courbe sinus s’exprimait comme « compagne de la roulette ». J’interroge ainsi Pascal au cœur de son dispositif d’hypothèses nécessaires à la poursuite des mathématiques, et sous la forme d’un « pari » qui le conduisit à montrer que la rectification indéfinie d’une roulette généralisée était liée à celle de l’ellipse. C’était bien loin du nombre indéfini réduit à une simple astuce pour entrer sur un nouveau terrain.
  • 10:30am - 10:45am : Break
  • 10:45am - 12:00am : Claude Merker (IREM of Besançon)
    La méthode des indivisibles de Pascal : en réalité, une méthode à différentielles géométriques
    C’est dans la première Lettre de Dettonville que Pascal met en place clairement différentes sortes de “sommes” dont les nombreuses métamorphoses résoudront les problèmes de roulette. Les objets mathématiques à l’œuvre sont les “petites portions” nées d’un nombre indéfini de divisions égales sur une ligne. Nous nous proposons de regarder en quoi cet objet ressemble par avance à une différentielle leibnizienne, et en quoi il en diffère. Nous nous proposons aussi de donner une idée du déroulement des calculs car les calculs font parfois apparaître des choses inattendues.
  • 1:30pm - 2:45pm : Sébastien Maronne (Département de Mathématiques de l’Université de Toulouse III Paul Sabatier, & IMT)
    Le style des Données dans les Lettres de A. Dettonville
    Dans mon exposé, j’étudierai la définition, nouvelle, proposée par Pascal dans l’un des « Avertissements » des Lettres de A. Dettonville d’’espace donné ou connu’ et de ‘raison donnée ou connue’. Pour ce faire, je les comparerai aux définitions qu’on trouve dans les Données d’Euclide éditées quelques années plus tôt, en 1625, par Claude Hardy. J’examinerai ensuite l’usage pratique qui est fait par Pascal de ces définitions dans les solutions des problèmes de quadrature des Lettres de A. Dettonville dans le contexte du concours de la roulette. Je considérerai enfin les Réflexions sur la géométrie en général pour déterminer dans quelle mesure de telles définitions rencontre des échos dans les discussions sur l’infini du recueil.
  • 2:45pm - 3pm : Break
  • 3pm - 415pm : Dominique Descotes (Université Clemront 2, IHRIM)
    Infini, indivisible et la question du genre littéraire chez Pascal
    Un même sens change selon les paroles qui l’expriment. Les sens reçoivent des paroles leur dignité au lieu de la leur donner. Il en faut chercher des exemples" (Pensées, Laf. 789, Sel. 645).
    "Masquer la nature et la déguiser. Plus de roi, de pape, d’évêque, mais auguste monarque etc... Point de Paris, capitale du royaume. Il y a des lieux où il faut appeler Paris, Paris et d’autres où il la faut appeler capitale du royaume" (Pensées, Laf. 509, Sel. 669).
    "Carrosse versé ou renversé selon l’intention" (Pensées, Laf. 579, Sel. 482).
    "Honnête homme. Il faut qu’on n’en puisse dire ni il est mathématicien, ni prédicateur, ni éloquent mais il est honnête homme. Cette qualité universelle me plaît seule. Quand en voyant un homme on se souvient de son livre, c’est mauvais signe. Je voudrais qu’on ne s’aperçût d’aucune qualité que par la rencontre et l’occasion d’en user, ne quid nimis, de peur qu’une qualité ne l’emporte et ne fasse baptiser ; qu’on ne songe point qu’il parle bien, sinon quand il s’agit de bien parler, mais qu’on y songe alors" (Pensées, Laf. 647, Sel. 532).
    La manière dont Pascal parle des infinis, des indéfinis et des indivisibles obéit-elle à cette règle ?
  • 4:15pm - 5:30pm : Roundtable / concluding remarks
    Sandra Bella (Erc Philiumm), Antoni Malet (University Pompeu Fabra), João F. N. Cortese (University of São Paulo, & SPHere)
    L’importance de l’œuvre de Pascal et son héritage pour la postérité



January 10, 2022, 9:30am – 3:30pm, Room Rothko, 412B, & webconference

: : Logic & Geometry

Session organised by D. Rabouin & B. Halimi

  • 9:30am : Introduction (D. Rabouin)
  • 10am : Massimo Mugnai (Prof. emeritus, Scuola Normale Superiore, Pisa)
    Oblique terms and non-syllogistic inferences in the logic of 17th century
    In this talk my main purpose is to illustrate how some philosophers of the 17th century attempted to improve the traditional theory of syllogism recognizing the existence of valid inferences that are not reducible to syllogistic form. The emergence of a careful analysis of mathematical proofs through the tools of logic has been a surprisingly slow process. A very important phase of this process was the discovery of the logic of relations, associated with the emerging awareness that the traditional Aristotelian syllogism was unsuitable for proving mathematical theorems. The first embryonic form of a logic of relations was developed during the 14th century by philosophers like William of Ockham and John Buridan in connection to their discussion of so-called ‘oblique inferences’, that is inferences in which oblique terms occur. The distinction between oblique and right terms was grammatical and had its roots in the works of the Latin grammarians of antiquity. A right term (terminus rectus) was simply a term in the nominative case (for example : Caesar), whereas an oblique term (terminus obliquus) was a term in any other case, different from nominative (for example : Caesaris ‘of Caesar’). Medieval logicians were well aware that oblique terms implied a reference to relations and attempted to develop a treatment of oblique terms inside the framework of traditional syllogism. Given their poor interest for mathematics, however, they did not associate oblique inferences with the inferences that were usually carried out by mathematicians when proving theorems.
    It is only with the works of Joachim Jungius and Johannes Vagetius, in the 17th century, that two important features of oblique inferences emerge : 1) they are non-syllogistic (and not reducible to syllogisms) ; 2) they are necessary for proving mathematical theorems. Even though it is quite difficult to determine exactly the influence and the diffusion of Jungius’ and Vagetius’ theses, there is no doubt that they were a clear symptom of a sort of uneasiness towards the traditional syllogism of Aristotelian origin. In the 17th century, even Gottfried Wilhelm Leibniz and the Portuguese philosopher Juan Caramuel Lobkowitz (1606-1682) tackled the problem of oblique (relational) inferences. Leibniz had the opportunity of looking at Jungius’ papers and discussed with Vagetius some issues concerning relational inferences. On the one hand, Leibniz was aware of the non-syllogistic nature of certain inferences containing relations ; on the other hand, he believed that they should be ‘demonstrated’ on the basis of a ‘superior’ logic, that is a logic more general than that centered on the syllogism. Caramuel, instead, was an enthusiastic supporter of oblique inferences, which, according to him, constituted the greatest part of our ordinary inferences and attempted even to develop a logic of oblique terms (logica obliqua). This logic, however, was conceived inside the traditional framework of the doctrine of syllogism, which in the end came out profoundly modified. To integrate relations and relational terms into the traditional syllogistic figures, Caramuel changed the meaning of the ordinary copula, thus giving rise to a theory, which strongly resembles the theory of the ‘general copula’ proposed by De Morgan in the second half of the 19th century. Yet, even though Caramuel seems to come very close to developing a very embryonic logic of relations, he contents himself with amassing heterogeneous examples of ‘syllogistic inferences’ that contain relations, without making any attempt to elaborate a theory with some degree of generality.
  • 11:15am–11:30am : Break
  • 11:30am : Paolo Mancosu (UC Berkeley & Université Paris 1 Panthéone Sorbonne)
    Mathematical proofs and syllogistic reasoning in Kant
    In this talk I will explore the complex tangle of issues related to whether Kant considered mathematical proofs to be syllogizable. The topic is intertwined to some of the major interpretations of Kant’s philosophy of mathematics offered by, among others, Russell, Couturat, Beck, Hintikka and Friedman. In the final part I will also discuss the relevance of recent work in the foundations of geometry (Beeson, Avigad, Mumma) to the the topic at hand.
  • 12:30am : Lunchbreak
  • 2pm : Alberto Naibo (Université Paris 1), joint work with Thomas Seiller (LIPN)
    A geometric theory of algorithms
    In this programmatic talk, we will sketch both a conceptual and formal framework for reasoning about the notion of algorithm. This framework will arise from the analysis we will make of the relationships existing between the notion of algorithm and other similar (but still different) notions, like that of computation and that of program. We will first show that the Turing-Church thesis concerning effective computability is not sufficient to capture the notion of algorithm, as it identifies programs which are intensionally different. We will then show the limits of the existing models of computation in capturing some basic construction processes that we are willing to call algorithmic. In order to solve this problem, we propose a formalisation of the notion of model of computation on the base of which we claim that the notion of algorithm could eventually be analyzed. This approach centered around the dynamics of program execution, reconciles the more mechanical view of computation (such as formalized by Turing machines and automata) with the logical view — as it in particular stems from a generalization of Jean-Yves Girard’s Geometry of Interaction programme.
  • 3:15pm : Conclusion (B. Halimi)


February 7 2022, 9:30am - 1:15pm, Room Rothko, 412B, & hybrid

: : Fundamental figures

Session organized by A. Keller et K. Chemla

  • 9:45 - 11:00 Nicolas Michel (Institute of mathematics, University of Utrecht, & SPHere)
    Points, rayons, plans. Les figures fondamentales dans la géométrie énumérative de Schubert
    A la suite des travaux de Jakob Steiner, une riche tradition de géomètres de langue allemande a cherché à subordonner l’étude des propriétés de toute figure, aussi complexe soit elle, à celle des relations entre quelques figures dites fondamentales, telles que la droite ou le pinceau de plans. Ce fut notamment le cas de Hermann Schubert, qui reprit à son compte cette approche lors de la genèse de son célèbre "calcul énumératif" dans les années 1870. Dans cet exposé, nous montrerons comment Schubert a procédé à la réduction de plusieurs figures géométriques (courbes algébriques, polyèdres, etc.) à des systèmes de points, rayons, et de plans. Nous verrons ensuite comment Schubert s’est servi de cette réduction pour construire une algèbre des conditions géométriques susceptibles d’être satisfaites par les figures fondamentales, et dont les règles de calcul peuvent être généralisées aux figures plus complexes ainsi formées.
  • 11:00 - 11:15 Break
  • 11:15 - 12:30 Eric Vandendriessche (CNRS, SPHere, & Université Paris Cité)
    Figures fondamentales dans des pratiques (ethno-)mathématiques (dessin sur le sable, tressage de nattes, jeu de ficelle)
    Des études ethnomathématiques récentes ont mis au jour le caractère mathématique de certaines activités procédurales/techniques (dessin sur le sable, tressage de nattes, jeu de ficelle…) pratiquées dans différentes sociétés autochtones, mélanésiennes notamment, où prédomine l’oralité. Si ces pratiques impliquent la création et la mise en œuvre d’algorithmes i.e. séquences ordonnées d’opérations spatiales, elles visent dans le même temps à élaborer et à combiner diverses figures « géométriques », constitutives de l’artefact réalisé. Dans cet exposé, nous verrons que certaines de ces « figures » (i.e. motifs, nœuds, entrelacements/ configurations de fils, etc.) ont des rôles et des propriétés spécifiques, et peuvent en ce sens être analysées comme des « figures fondamentales » propres à ces différentes pratiques (ethno-)mathématiques.


12:30 - 1:15 Roundtable, introduced by :

  • Adeline Reynaud (Université de Paris Vincennes & SPHERE, CNRS & Université Paris Cité)
    « Clous » et « têtes de bœufs » : quelques réflexions sur les triangles et les trapèzes dans les mathématiques paléo-babyloniennes
    Plusieurs indices de différentes natures laissent penser que les termes de « triangle » (qui désigne aussi le « clou cunéiforme ») et « trapèze » (qui signifie littéralement « tête de bœuf ») employés dans de nombreux textes de procédure produits en Mésopotamie au début du deuxième millénaire avant notre ère véhiculaient pour les acteurs plus d’informations que la simple évocation d’un triangle ou d’un trapèze tels que nous nous les représentons. Dans cette brève présentation, je tenterai de croiser des indices tirés de la lecture des textes et de l’observation des diagrammes pour soulever un certain nombre de questions relatives à la manière dont ces deux figures de base étaient pensées et manipulées : étaient-elles conçues comme des ensembles de lignes ou comme des étendues ? existaient-elles sous la forme que nous qualifierions aujourd’hui de « quelconque » ou étaient-elles au contraire toujours implicitement particulières ? avaient-elles une orientation tacite, et quelles conséquences cela avait-il ? que recouvrait exactement le vocabulaire technique qui leur était attaché ? quelles contraintes celui-ci induisait-il sur les dimensions qu’elles pouvaient avoir ? etc.
  • Karine Chemla (CNRS, SPHere & Université Paris Cité)
    Figures fondamentales et démonstration : Réflexions à partir du rectangle
    Le rectangle m’apparaît avoir joué le rôle d’une figure fondamentale pour les commentateurs des Neuf Chapitres et ils se faisaient sans doute en cela l’écho des auteurs du classique. Quels arguments peut-on avancer en faveur de ces thèses, et en quel sens, alors, le rectangle fut-il pensé comme une figure fondamentale ? C’est à partir de ces questions que je proposerai quelques réflexions en vue d’amorcer la table ronde.


March 7 2022, 9:30am - 1pm, Room Rothko, 412B, hybrid

To participate online, we thank you by advance to write latest 24h before the session to A. Remaki with the keyword "0403zoomHPM" as subject

: : Counter-stories of imaginaries

Session organised by S. Confalonieri, D. Rabouin

  • 9:30am Introduction (David Rabouin)
  • 10am Siegmund Probst (Hannover)
    Imaginary numbers in the mathematical papers of Leibniz (1672-1676)
    In recent years, topics concerning imaginary numbers in Leibniz’s thought, have been addressed in several studies. Some of them are motivated by the fact that imaginary numbers are often used by Leibniz as examples in a philosophical context, some study their role in the mathematical development of Leibniz and in the history of mathematics. My talk will give an overview on this research and present examples from the Paris years of Leibniz. Many of his most interesting notes resulted from meetings with Tschirnhaus.
    • ANR « Mathesis » : "Présentation des manuscrits", in : Philosophia Scientiæ, 25(2), 2021, 133–154
      https://doi.org/10.4000/philosophiascientiae.3068
      Breger, Herbert : "Problems of mathematical existence in Leibniz", in : Arnaud Pelletier (ed.), Leibniz and the aspects of reality, Stuttgart : Franz Steiner Verlag, 123-138
    • Mayer, Uwe : " ’Neither unuseful nor absurd when rightly understood’ – Imaginäre Zahlen und ihre Darstellung bei Wallis, Tschirnhaus und Leibniz", in : Wolfgang Hein / Peter Ullrich (eds.), Mathematik im Fluß der Zeit, Augsburg : Rauner, 2004, 172–187
      Ottaviani, Osvaldo : "Leibniz’s Imaginary Bridge. The Analogy between Pure Possibles and Imaginary Numbers in the Paris Writings", in : Oxford Studies in Early Modern Philosophy, Volume X, 2021, 133-167
      DOI : 10.1093/oso/9780192897442.003.0005
      Sauer, Tilman Sauer / Klaedtke, Gabriel : "Eine Leibnizsche Identität", in : Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik, 10 (2018), 115-130
      http://doi.org/10.25358/openscience-157
  • 11am Break
  • 11:15am Azmyia Padavia (Université Paris Cité, ED 623, SPHere)
    L’interprétation de la présence de racines imaginaires chez Newton
    Newton établit dans les années 1665 – 1666 une règle inspirée de la règle des signes de Descartes et qui sera par la suite publiée dans l’Arithmetica Universalis lui permettant de déterminer une borne inférieure du nombre de racines imaginaires d’une équation. Dans cet exposé, nous nous intéressons à l’image des racines imaginaires que donne Newton à travers cette règle, et plus particulièrement à l’interprétation des racines « impossibles positives » et « impossibles négatives ».



April 11, 9:30am - 3:15pm, Room Rothko, 412B, hybrid

: : Experiments & experiences in mathematics

Session organised by Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, ENS-CNRS)

  • 9:30am : Introduction
  • 9:45am - 11am : Catherine Goldstein (IMJ-PRG)
    Expérimentations mathématiques au cours du XIXe siècle
    Malgré une opinion fréquemment affirmée que le XIXe siècle est celui où les calculs cèdent la place aux concepts et aux structures intrinsèques, on y rencontre cependant de nombreux appels à considérer les mathématiques comme une science naturelle, avec ses observations et expérimentations, et des travaux manifestant concrètement les exigences créées sur la pratique des mathématiques par ce point de vue. Dans l’exposé, je voudrais détailler quelques cas afin d’évaluer les échelles et les moments où ces exigences sont appliquées. Je reviendrai ensuite sur les problèmes que pose la prise en compte du rôle de l’expérimentation mathématique sur le long terme.
    • a few bibliographical tracks
      – D. H. Bailey & J. Borwein. 2001. “Experimental Mathematics : Recent Developments and Future Outlooks”, in B. Enquist \& W. Schmid (eds.), Mathematics Unlimited : 2001 and Beyond, Berlin, Springer, pp. 51-66.
      – N.D. Goodman. 1981. “The Experiential Foundation of Mathematical Knowledge”, History and Philosophy of Logic, 2 (1981), 55-65.
      – J. Echeverria. 1992. “Observations, problems and conjectures in number theory : the history of the prime number theorem”, in J. Echeverria, A. Ibarra and T. Mormann (eds.), The Space of Mathematics, New York, De Guryter, pp. 230-252.
      – J. Echeverria. 1996. “Empirical Methods in Mathematics. A Case-study : Goldbach’s conjecture”, in G. Munevar (ed.), Spanish Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht, Kluwer, pp. 19-55.
      – C. Goldstein. 2008. “How to Generate Mathematical Experimentation and Does it Provide Mathematical Knowledge ?”, in U. Feest, G. Hon, Hans-Joerg Rheinberger, Jutta Schickore, Friedrich Steinle (eds.), Generating Experimental Knowledge, Berlin, Max Planck Institute for the
      History of Science, pp. 61-85.
      – C. Goldstein. 2011. “Les mathématiques comme science d’observation : les convictions de Charles Hermite”, in F. Ferrara F., L. Giacardi, M. Mosca (ed.), Associazione Subalpina Mathesis Conferenze e seminari 2010-2011, Torino, K.Peacock’s Arithmetic Williams, 2011, 147-156.
      – T. S. Kuhn. 1976. “Mathematical versus Experimental Traditions in the Development of Physical Science”, The Journal of Interdisciplinary History 7, 1-31 ; repr. in The Essential Tension, Chicago, London, University of Chicago Press, 1977, pp. 31-65.
      – I. Lakatos. 1967. “A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics”, in Problems in the Philosophy of Mathematics, Amsterdam, North-Holland, pp. 199-202.
  • 11:15am - 12:30am Arilès Remaki & David Rabouin, (CNRS, SPHere, & Erc Philliumm)
    Mathématiques et expérience chez Leibniz
    Contrairement à ce que pourrait laisser penser l’image d’un Leibniz « logiciste », pour lequel toutes les mathématiques doivent dériver du seul principe d’identité, on trouve sous la plume du philosophe de nombreuses références au rôle de l’expérience en mathématiques. Ces indications, auxquelles on essayera de donner sens, s’accordent avec une pratique de mieux en mieux connue et dont la dimension expérimentale est très marquée. Dans la seconde partie de l’exposé, on présentera des exemples de cette pratique « expérimentale » sur le cas du travail sur les tables. Ces exemples sont abordés selon une méthode au carrefour entre approche matérielle et analyse conceptuelle. Cela nous permettra de faire état de la manière dont discutent pratiques, théorie et ambition chez Leibniz, au sein de cette catégorie qu’est l’« induction » mathématique.
  • 2pm - 3:15pm Viviane Pons (LRI, Univ. Paris Saclay)
    Expérimentation manuelle et par ordinateur dans la recherche en combinatoire
    En tant que chercheuse en combinatoire algébrique, l’approche exploratoire est essentielle à mon travail. Mon processus de recherche est un va et vient constant entre des expérimentations manuelles (calculs, énumération exhaustives de structures, cas particuliers, etc) et sur ordinateur. Dans cet exposé, je me baserai sur un problème en cours pour dérouler le processus de recherche qui m’amène à obtenir de nouveaux résultats.



May 23, 9:30am - 1pm : Room Kandinsky, 631B, 2:30pm - 4:30pm, Room Mondrian, 646A, hybrid

: : Diagram & Computation

Session organised by K. Chemla, N. Michel & A. Remaki|

  • 9:30am - 9:45am Introduction
  • 9:45am - 10:45am Sandra Bella (CNRS, Erc Philiumm, SPHere)
    Modifications diagrammatiques par et pour le calcul leibnizien (1684-1700)
    Bien que l’analyse infinitésimale ait cherché au cours du xviiie siècle à se déprendre des figures, les diagrammes ont joué un rôle crucial pour l’appropriation du calcul différentiel et intégral à ses débuts, et ce pour diverses raisons.
    Dans cette intervention, j’examinerai comment les acteurs se sont appuyés sur des diagrammes pour donner sens à la notion de différentielle. En particulier, je porterai mon attention sur la manière de réinvestir des diagrammes en usage pour légitimer l’introduction des différentielles – ou de différentio-différentielles – comme grandeurs, et comment, ce faisant, les anciennes notions impliquées sont modifiées et s’enrichissent.
  • 10:45am - 11am Break
  • 11am - 12am Arilès Remaki (SPHere)
    Diagramme de sommation par paquets : étude comparative sur la somme des inverses des nombres triangulaires
    En 1665, une série infinie émerge spontanément dans les travaux de Christiaan Huygens sur les jeux de hasard : la série des inverses des nombres triangulaires. Sept ans plus tard, lorsque le mathématicien néerlandais rencontre pour la première fois Gottfried Wilhelm Leibniz à Paris, il met au défi le jeune philosophe, désireux de faire ses preuves, de trouver la valeur de cette série infinie. Leibniz calcula non seulement cette série particulière mais aussi la formule générale des sommes des inverses de séries des nombres combinatoires, ce qui impressionna profondément Huygens. Cela encouragea Leibniz à faire connaître sa découverte aux membres de la Royal Society dont il souhaitait faire partie. Mais ceux-ci lui répondirent que ce résultat avait déjà été démontré par le mathématicien italien Pietro Mengoli en 1650. La même année, Leibniz mentionne un résultat très similaire, démontré par William Brouncker dans un article extrêmement concis paru dans les Philosophical Transactions de la Royal Society.
    Trois travaux de trois mathématiciens contemporains, à savoir Mengoli, Huygens et Broucker, sur trois problèmes différents aboutissent au même résultat, présenté de la même manière : l’égalité entre la somme d’une série et un nombre entier. Les trois textes sont très différents, que ce soit par leur taille ou leur nature. Ils utilisent des outils de nature différente, et s’appuient sur des travaux antérieurs différents. Malgré ce caractère multiforme, nous nous emparerons avec joie de l’occasion fournie par Leibniz, de réunir ces trois textes pour mettre en lumière leur facteur commun : le rôle combinatoire des diagrammes dans le calcul de la somme d’une série.
  • 12am - 1pm Andrea Bréard (Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg)
    Voir l’arithmétique par les branches et les transformations de tables triangulaires dans l’œuvre de Li Shanlan (1867)
    A partir du triangle arithmétique, Li Shanlan construit dans son traité Catégories analogues d’accumulations discrètes de 1867 d’autres tables triangulaires par des opérations appelées « branchement » (zhi ?) ou « transformation » (bian ?). Je discuterai comment ces opérations sur les tables lui ont permis de déduire les procédures de sommation de chacune des diagonales de ses triangles et d’établir des liens arithmétiques entre les sommes des diagonales de différents triangles. Même si Li ne donne pas de procédure générale, mais seulement les sommes des premières diagonales à partir desquelles le lecteur est invité à déduire les autres, je montrerai que les tables faisaient apparaître une logique (des « patterns » en anglais) plausible pour leur calcul général.


2:30pm - 4:30pm, Room Mondrian, 646A, hybrid
: : Part II : Greek Notations, session together with the seminar Mathematics 19th – 21st, History and Philosophy

  • Alexander Jones (New York University, Institute for the Study of the Ancient World)
    Sexagesimal and other fractional notations in Greek astral science
    In texts and tables of Greek mathematical astronomy, as well as in related fields such as astrology and mathematical geography, whole numbers were expressed in the so-called Ionian non-place-value decimal notation that employed an augmented 27-letter Greek alphabet to represent numbers (1 through 9) of units, tens, and hundreds. For fractional quantities there were two common notations, both incorporating the Ionian notation. One, structurally resembling Egyptian fractional notation, expressed a fractional quantity as a string of one or more distinct nth-part fractions (equivalent to 1/2, 1/3, 1/4,…). The other, adapted from Babylonian sexagesimal place-value notation, expressed fractions as strings of one or more whole numbers (0 through 59) representing multiples of consecutively decreasing powers of 60 (60-1, 60-2, 60-3,…). The two notations could coexist in a single work, and sometimes the same body of data is found expressed in the one notation in one context and in the other in a different context. This talk explores two topics : the functions of the two fractional notations, and certain distinctive and crucial features of the Greek sexagesimal notation that differentiate it from its Babylonian antecedents.


June 13 2022, 9:30am - 5pm, Room Rothko, 412B, hybrid

To participate online, we thank you by advance to write latest 24h before the session to A. Remaki with the keyword "1306zoomHPM" as subject, the link will be sent on the 12th evening

: : Theories of Axioms in the 17 th Century

Session organised by V. de Risi

  • 9:00 Welcome
  • 9:30am - 10:30am Mogens Laerke (CNRS, Maison Française d’Oxford / IHRIM, ENS de Lyon)
    Consensus and Common Notions in Early Modern Theory of Knowledge
    In this presentation, I want to outline a research programme. The history of the early modern theory of
    knowledge is routinely depicted as a story about how epistemologies based on authority, tradition, and general agreement were replaced by epistemologies based on criteria of self-evidence or empirical observation. And yet, when looking beyond the traditional rationalist-empiricist alternative into which that narrative feeds, arguments from general agreement begin to resurface everywhere, and for good reason. In this paper, I argue that early modern philosophy did and indeed had to endorse some positive conception of the intrinsic value of collective knowledge acquisition. I moreover suggest how this conception was broadly expressed in the very diverse early modern reception of the originally Stoic notion of so-called “common notions.
  • 10:45am - 11:45am Dana Jalobeanu (ICUB-Humanities & Department of Theoretical Philosophy, University of Bucharest)
    Francis Bacon on Axioms, Laws, Rules and Principles : An investigation into the aggregation of a scientific vocabulary
    Francis Bacon is rarely mentioned in the histories of the emergence of a concept of laws of nature. His
    philosophy does not seem to contain a conception of laws as regularities ; but he does treat the subject and has a very rich vocabulary to refer to it. The trouble is that he talks, sometimes indistinguishably, of laws, forms, principles and axioms, precepts, maxims and rules. My purpose in this talk is to review and clarify some of this vocabulary and to show that Bacon’s terminological struggles are philosophically interesting and scientifically relevant. I show that we can find in Bacon a change and evolution of this vocabulary, corresponding to the phases of growth and maturation of his conception of science. What we can see especially in his late natural and experimental history is a form of aggregation of a scientific vocabulary.
  • Break
  • 12am - 1pm Élodie Cassan (UMR 5317, CNRS, ENS de Lyon)
    Towards the shaping of a logic ? Remarks about Descartes’ May 24th 1640 Letter
    to Regius

    In the seventeenth century, logic was not treated in exclusively formal terms, but also dealt with epistemology and psychology of knowledge issues. The part played by Descartes towards the shaping of this discipline, has long been acknowledged. However, the exact features of his contribution to the logic of his time still have to be disentangled. Such is the purpose of this paper. Progress in scholarship has recently shown that Descartes’harsh words about the syllogism were not to be interpreted in terms of a rejection of formal logic issues. It has also revealed the impact of Descartes’ theory of ideas on the logics that were written from the second half of the 17th century on. This presentation intends to go one step further, with an attempt at reconstructing what Descartes did with logic. Accordingly, it focuses on a letter to Regius on May 24th 1640, where Descartes developed the terms of his logic. In this letter, he named ‘axioms’ or ‘premises’ or ‘principles’ the propositions a deduction derives from. He called ‘conclusions’ the propositions a deduction leads to. He identified the reasons why we form judgments with the principles from which we build deductions. A consideration of Descartes’understanding of these elements of reasoning will illuminate the philosophical role he attributes to logic, as providing the tools for the building of philosophical discourse.
  • Lunch Break
  • 2:30pm - 3:30pm Vincenzo de Risi (CNRS, SPHère & Max-Plank-Institut für Wissenschaftsgeschichte)
    The Provability of Axioms : Birth and downfall of a Scholastic theory
    One of the major problems in the history of epistemology is to provide an explanation for the lack of alternative axiomatic systems in mathematics before the 19th century. The cause of this absence can apparently be found in an important Scholastic theory of the provability of axioms from the definitions of the terms employed in them. The talk reconstructs the sources and history of that Scholastic theory, which, conceived in commentaries on Aristotle in the 13th century, enjoyed an extraordinary popularity during early modernity and the 17th century in particular, and was endorsed by philosophers, mathematicians and scientists throughout Europe.
    This theory had important consequences regarding the nature and function of axioms in all sciences, and in mathematics in particular. The talk concludes by showing how that theory disappeared during the 18th century and was replaced with a new epistemology that led, among other things, to the discovery of non-Euclidean geometries.
  • Break
  • 3:45pm - 4:45pm Arnaud Pelletier (Université Libre de Bruxelles)
    On Leibniz’s First Principles
    Leibniz constantly asserts the necessity to demonstrate the axioms assumed by Euclid and to reduce them, through a series of distinct definitions, to the only genuine axioms, namely the identical propositions. In this sense, axioms are no exception among the principles at the foundation of the sciences that Leibniz lists in various inventories : definitions, hypotheses, phenomena, initia, fundamenta, praecognita. Beyond these, Leibniz introduces a distinction between those principles and some genuine first principles that would be truly unprovable, while nevertheless supporting knowledge. There are therefore no axioms (which can provisionally serve as first principles of a doctrine) without genuine first principles : more than their status and function, the way to grasp and acknowledge them must be distinguished from that of the axioms. This paper outlines some elements of the distinction between axioms and first principles.






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