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Axe Histoire et philosophie des mathématiques

Histoire et philosophie des mathématiques 2015–2016

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Presentation

Le séminaire d’histoire et de philosophie des mathématiques est le point de rencontre des différents axes de l’Unité travaillant autour des mathématiques. Il entend favoriser le dialogue entre philosophes et historiens en prenant soin de toujours revenir aux sources textuelles - les orateurs sont vivement encouragés à fournir les documents permettant aux participants d’y accéder.
Coordination : Simon Decaens, Emmylou Haffner, Eleonora Sammarchi, (Univ. Paris Diderot & SPHERE)




CALENDRIER 2015-2016
le lundi, 9:30–17:00, cette année en salle Klimt, 366A.
Université Paris Diderot, bâtiment Condorcet, 4, rue Elsa Morante, 75013 Paris – plan d’accès.


Vers les dates : 16-11-2015, 14-12-2015, 11-01-2016, 15-02-2016, 7-03-2016, 4-04-2016, 9-05-2016, 13-06-2016

12 octobre
Sur le calcul. Quelques analyses
Séance organisée par Jean-Jacques Szczeciniarz (Université Paris Diderot, SPHERE & GdR Philosophie des mathématiques)
Le calcul a fait l’objet de considérations très opposées. D’un côté, dans la division du travail mathématique, il a été placé au plus bas échelon, la partie la moins noble de la pratique mathématique. C’est le cas de certaines interprétations de Platon qui mettent du côté de la non-pensée les pratiques de calcul des négociants ou des artisans. Pour la pratique mathématique, si certains parmi les plus célèbres mathématiciens ont été des calculateurs prodiges (Gauss, Riemann), le calcul est relégué en arrière-plan, activité mécanique, à laisser exécuter par les roturiers, conception courante dans ce que nous appellerons la vulgate philosophique mathématique. Il est opposé ou bien à la conception des structures qui précisément éviteraient les calculs et seraient, elles, la véritable essence de l’élaboration mathématique avec ses grandes architectures, ou bien même à la réflexion mathématique qui se veut réalisation de mathématique conceptuelle. Ce que l’on remarque moins explicitement, c’est que le calcul a été vu comme l’activité par excellence dénuée de sens, une sorte de vide de pensée.
D’un autre côté, la philosophie des mathématiques s’est également fait une conception très différente du calcul. Il a été considéré comme représentant, à l’opposé de ce qui est dit plus haut, l’essence ou du moins une forme essentielle de la pensée mathématique et de sa pratique et même de sa théorie. Non seulement parce qu’il représente, et ce de façon souvent assez grossière, une marque de l’objectivité, mais aussi, à travers les exploits calculatoires qui ont émaillé l’histoire des mathématiques, il se joue des productions d’un très haut niveau d’élaboration mathématique.
Nous voudrions commencer à montrer au cours de cette journée que la première conception repose souvent sur une méconnaissance et une forme de normativité ancrée profondément dans l’histoire des mathématiques et de la philosophie. Dans toute la pratique mathématique, le calcul joue un rôle dont nous donnerons des aperçus. Et ce dans les disciplines mathématiques mêmes et de façons diverses. Nos aperçus descriptifs et analytiques du calcul iront du pur calcul au calcul disciplinaire, formes communes et différences. L’objectif sera de montrer dans de brèves esquisses que la pratique mathématique est aussi une libération du calcul. Les analyses proposées se séparent en deux groupes, celles issues de la pratique du calcul et celles qui viennent de la computation informatique. L’idée est que les différences entre ces deux groupes d’analyse ne sont pas d’essence. Les deux dernières conférences faisant des hypothèses sur la nature du calcul qui doivent éclairer les deux premières.

  • 9:30 Jean-Jacques Szczeciniarz (Université Paris Diderot, SPHERE)
    Introduction. Vers un concept de calcul.
  • 10:00 Joël Merker (Université Paris-Sud)
    La pratique du calcul comme exigence de synthèse mathématique.
    La première partie de l’exposé décrira, au moyen de quelques exemples accessibles élémentaires, les caractères dynamiques et mobiles du Calcul, interrogé d’abord dans son essence, puis analysé dans l’inscription d’une temporalité inamovible qui le soustrait, en tant que moyen de connaissance, à tout désir platonicien légitime d’intériorisation immobile. Ensuite, je tenterai d’exposer le caractère mystérieusement irréversible des connaissances mathématiques invariantes que l’on atteint seulement par un calcul délicat ciblé — le Theorema Egregium de Gauss produit par exemple `la’ représentation symbolique formelle aboutie du concept de courbure —, lorsque l’importance d’un concept mathématique n’est pas encore connue à l’avance, les enjeux métaphysiques pouvant alors devenir aporétiques, tant la ligne de crête entre l’`avant’ et l’`après’ parcourt chaque instant de calcul. Pour terminer, en prenant appui sur quelques questionnements contemporains (toujours très ouverts) portant sur la nature de certains groupes de cohomologie à valeurs dans des fibrés de rang élevé au-dessus de variétés projectives de grande dimension, je tenterai de faire comprendre en quoi et pourquoi l’idéalisation d’une `force brute’ de calcul rencontre des limites qui sont stablement dues à la résistance des synthèses mathématiques, l’ontologie structurée devenant plus extrinsèque qu’on ne le croirait, car l’exponentialité sans concept se heurte en permanence à d’impossibles totalisations.
  • 11:15-12:15 Jean-Jacques Szczeciniarz (Université Paris Diderot, SPHERE)
    Le calcul comme expression de la forme mathématique.
    Il s’agit d’examiner les effets du calcul dans l’aventure mathématique : le cas du theorema egregium, ou théorème extraordinaire de Gauss, et d’insister sur le calcul du point de vue de ses formes de consubstantialité à la structure mathématique : quelques exemples de calcul « à la Cartan »
  • 13:30-14:30 David Rabouin (CNRS, SPHERE)
    Logique, mathématiques et calcul chez Leibniz.
  • 14:45-15:45 Maël Pegny (Université Panthéon Sorbonne)
    Calcul quantique, force brute et utopie computationnelle.
    Le calcul quantique repose-t-il sur la force brute ? Nous essayerons de dégager les vastes enjeux philosophiques qui se dissimulent derrière l’apparente technicité de cette question, en montrant ce qu’elle implique pour les fondements de la complexité computationnelle.
  • 16:00-17:00 Franck Varenne (Université de Rouen & GEMASS (UMR 8598)
    La computation comme émulation et comme simulation.
    Je voudrais montrer que l’omniprésence du computer dans les pratiques contemporaines de modélisation n’est pas seulement due au fait qu’il peut être un formidable number cruncher, un dévoreur de nombres, ni non plus au seul fait qu’il peut être une impeccable machine logique. Je soutiendrai l’idée que son omniprésence toujours plus pressante est due à l’instabilité et à l’ambivalence de la fonction épistémique qu’il peut chaque fois conférer au calcul qu’on lui délègue et aux résultats de ce calcul. Dans les sciences empiriques, cette ambivalence est en effet positive car elle consolide l’apport épistémique du computer au lieu de le fragiliser : la computation peut y être considérée et traitée soit comme émulation, soit comme simulation, soit, parfois aussi, comme les deux simultanément, quoique sous deux aspects différents. Dans les simulations informatiques formellement les plus composites, cette ambivalence a pour effet de combiner, enrichir et, par là, stabiliser les fonctions épistémiques des simulats. Ce faisant, la computation autorise des espaces de recouvrement et d’interaction selon nous inédits entre calculs et raisonnements.
    • Références :
      Dowek Gilles, Les métamorphoses du calcul (2007), Paris, Le Pommier, 2011.
      Dowek Gilles, La logique, Paris, Le Pommier, 2015.
      Varenne Franck, Qu’est-ce-que l’informatique ?, Paris, Vrin, 2009.
      « La surprise comme mesure de l’empiricité des simulations computationnelles », in Claudia Serban et Natalie Depraz (dir.), La Surprise. A l’épreuve des langues, Paris, Hermann, 2015, pp. 199-217.
      « La reconstruction phénoménologique par simulation : vers une épaisseur du simulat », in Parrochia D. et Tirloni V., Formes, systèmes et milieux techniques après Simondon, Lyon, Jacques André, 2012, p. 107-123.
      “Chains of Reference in Computer Simulations”, Tech. Report, FMSH-WP-2013-51, GeWoP-4, 2013, p. 1-29.

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16 novembre
Recensions et journaux de recensions
Séance organisée par Simon Decaens

  • Michèle Audin (anc. IRMA, Université de Strasbourg, CNRS)
    La guerre et les recensions
    Les journaux de recensions d’articles mathématiques, Zentralblatt et Math Reviews, sont nés dans des contextes politiques particuliers. Celui de l’Allemagne des années 1930 pour le premier, de la guerre en Europe pour le deuxième. J’évoquerai bien sûr ces naissances successives, mais je me concentrerai surtout sur l’étude de l’effet de la guerre sur les recensions d’une célèbre note d’André Weil en 1940 par les différents journaux.
  • Barnabé Croizat (Université de Lille 1)
    Création et débuts du Bulletin de Darboux : recensions, mélanges et influences.
    Malgré son surnom de Bulletin de Darboux, le "Bulletin des Sciences Mathématiques" doit en grande partie sa création à la volonté d’un homme : Michel Chasles. Tant par sa forme de publication que par l’objectif de ses rédacteurs, le Bulletin constitue une entreprise novatrice qui s’inscrit dans le contexte de l’émergence d’un sentiment de déclin des mathématiques françaises, avant tout face à la voisine rivale : la Prusse. Notre étude se concentrera sur les 8 années 1868-1875 : nous commencerons par détailler l’émergence du "projet de création d’un Bulletin" dont le lien avec la mise en place d’une institution nouvelle, l’Ecole Pratique des Hautes Etudes (1868), est resté mal appréhendé. Puis nous insisterons sur les buts mis en avant par les rédacteurs quant au rôle d’un tel Bulletin, ainsi que sur les nombreuses difficultés qu’ils rencontrent pour mettre en marche leur journal durant les premières années. Les recensions d’ouvrages et de mémoires apparaissent à la fois dans ces buts et dans ces difficultés. Après avoir souligné la place des recensions dans la composition du Bulletin, nous présenterons une étude du contenu des 9 premiers tomes (1870-1875) qui visera à analyser la représentation des différentes disciplines mathématiques dans les recensions des mémoires parus dans les périodiques. En comparant avec une section du Bulletin non dédiée aux recensions, nous tenterons de décrire l’influence de Darboux sur la composition du journal. Enfin, un regard porté sur la partie du Bulletin dédiée aux recensions d’ouvrages parus indépendamment hors des périodiques nous amènera à critiquer les limites d’une analyse centrée sur la statistique à l’image de notre propre étude des recensions du contenu des périodiques.
  • Simon Decaens (Université Paris Diderot, SPHERE)
    Quelques recensions de traités d’algèbre des années 1930 dans deux journaux états-uniens.
    Dans cette présentation, j’aimerais dégager un certains nombre d’usages des recensions pour l’histoire des mathématiques, en présentant notamment la recension comme une lecture particulière. Je m’appuierai pour cela sur des exemples de recensions de traités d’algèbre publiés dans les années 1930 dans deux journaux états-uniens : le Bulletin of the American Mathematical Society et l’American Mathematical Monthly.
  • Anne-Sandrine Paumier (IHES)
    Recensions et réceptions de la théorie des distributions de Laurent Schwartz, une étude de cas.
    La réception de la théorie des distributions de Laurent Schwartz est un phénomène collectif, auquel il participe activement. Nous nous penchons sur l’une de ses actions : la manière dont il norme la réception de sa théorie par l’intermédiaire de recensions aux Mathematical Reviews entre 1947 et 1958.

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14 décembre
Approches historiques des éditions d’œuvres complètes de mathématiciens en Allemagne au XIXe siècle
Séance organisée par Karine Chemla (CNRS, SPHERE, & projet SAW) dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World".

  • 9:30–9:45 Introduction
  • 9:45–11:15 Emmylou Haffner (Université de Lorraine)
    Quelques remarques sur l’édition des Gesammelte Werke de Riemann par Dedekind et Weber.
    En 1876, les œuvres complètes de Bernhard Riemann augmentées de manuscrits extraits de son Nachlass sont publiées par Richard Dedekind et Heinrich Weber. L’édition des œuvres de Riemann a été un long et difficile travail, pour Dedekind et Weber, qui aura pris plus de deux ans. Comme les lettres échangées par les deux éditeurs en attestent, l’état des manuscrits a nécessité un travail en profondeur sur les manuscrits, luttant parfois pour parvenir à comprendre ce que Riemann était en train de faire.
    Nous considérerons certains extraits de la correspondance entre Dedekind et Weber, afin de mettre en lumière les points essentiels permettant de comprendre le processus d’édition, de voir les étapes suivies pour déplier les textes de Riemann jusqu’à ce qu’une version publiable puisse en être obtenue. Nous suggérerons qu’il est important, ici, d’élucider dans quelle mesure le travail éditorial minutieux de Dedekind et Weber a pu les mener à publier des versions adaptées ou même réécrites des textes de Riemann, et de clarifier dans quelle mesure la lecture de Riemann faite par Dedekind et Weber a pu avoir une influence sur notre propre lecture, à travers la réappropriation des textes de Riemann qui a accompagné l’édition de ses manuscrits.
  • 11:30–13:00 Maarten Bullynck (Université Paris 8)
    L’édition des travaux de Gauss, un autoportrait de l’Ecole de Gœttingen
    Nous explorerons certains aspects de l’édition des travaux de Gauss (1863-1933). Cette édition, dirigée tout d’abord par Ernst Schering, sera ensuite supervisée par Felix Klein. Nous étudierons l’apparatus scientifique développé au cours de cette édition et son évolution. Nous développerons l’interaction avec les mathématiques contemporaines et mettrons en lumière la naissance et le développement de l’Ecole de Gœttingen.
  • 14:00–15:30 Christophe Eckes (Université de Lorraine)
    Autour de la publication des œuvres complètes de Hermann Minkowski par David Hilbert, Andreas Speiser et Hermann Weyl.
    Nous reviendrons tout d’abord sur les liens qui unissent Minkowski à Adolf Hurwitz et Hilbert, comme en témoignent notamment les lettres de Minkowski à Hilbert qui s’échelonnent entre 1885 et 1908. Ces lettres ont été publiées par Lily Rüdenberg et Hans Zassenhaus en 1973. Nous aborderons ensuite divers aspects de la Gedächtnisrede que Hilbert adresse en hommage à Minkowski au début du mois de mai 1909 et sur laquelle s’ouvrent les œuvres complètes de Minkowski. Nous tenterons en particulier d’identifier les choix faits par les éditeurs pour sélectionner les textes de Minkowski qui composent ses œuvres complètes avant de décrire brièvement leur réception immédiate. Pour finir, nous essaierons de mesurer les incidences des travaux de Minkowski sur Weyl, l’un des éditeurs des œuvres complètes de Minkowski.


Table ronde avec Karine Chemla et Pierre Chaigneau (Univ. Paris Diderot, SPHERE, & projet SAW)

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11 janvier
Histoire de l’historiographie de l’algèbre
Séance organisée par K. Chemla (CNRS, SPHERE, & projet ERC SAW) dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World".
Intervenants :

  • Jens Hoyrup (Roskilde University)
    What is "geometric algebra", and what has it been in historiography ?
    This title is adapted from that of Hans Freudenthal’s contribution to a famous debate dealing not least with the interpretation of ancient Greek geometry through the concept of "geometric algebra". Freudenthal argued that through this concept it was possible to point to an underlying unity of algebra, in spite of historical transformations. The present contribution, looking at the main creators and users of the notion of a "geometric algebra" since the 1880s, that their explanations of what they intend by the term and their use of it changes so fundamentally from one of them to the other that it is difficult to argue for even an underlying unity, and that the use of shared words means little more than, exactly, shared words.
  • TIAN Miao (Institute for the history of natural sciences, CAS, Beijing)
    Western and Chinese Algebraic Methods in 19th Century Chinese Historical Works.
    At the beginning of 18th century, European algebra, Jie genfang, was transmitted into China by Jesuit missionaries. It was soon accepted by Chinese mathematicians. It is based on the study of European algebraic method, the old Chinese Tianyuan method was rediscovered, and the two methods were regarded as identical at the beginning. In the second half of the 18th century, in the context of research and publication of ancient works in China, most of old Chinese mathematical books became accessible to mathematicians and scholars. Aim at the fully understanding of ancient knowledge and texts, some Chinese mathematicians focus on the study of 13th century Chinese mathematical texts concerning Tianyuan algebra, even they fully understand the advantage of European algebra. However, they reach the result that Chinese methods have more advantage than the ones from Europe. at the beginning of the 19th century, there was a hot debate among Chinese mathematicians about the advantage and disadvantage of Western and Chinese algebraic methods. In this paper, I will focus on the following problems :
    1) The context of the study of Algebra method in the 19th century China.
    2)The attitude of Chinese mathematicians toward the algebraic method from Europe and China in historical works.
    3) The attitude of Chinese mathematicians toward the theoretical knowledge unveiled in their study concerning algebra.
  • Marie-José Durand-Richard (SPHERE)
    Le point de vue des algébristes anglais sur l’historiographie de l’algèbre.
    Les algébristes anglais de la première moitié du 19e siècle, en particulier George Peacock (1791-1858) et Augustus de Morgan (1806-1871), inaugurent un vaste programme de restructuration de l’algèbre, à des fins à la fois pédagogiques et épistémologiques, voire politiques. Leur conception de l’algèbre s’appuie sur une philosophie empiriste et sur une conception du langage mathématique comme aboutissement d’un processus de symbolisation. Leur conception de l’histoire de l’algèbre s’articule ainsi à l’histoire de l’arithmétique. L’exposé s’attachera à examiner comment ils envisagent comme un même processus l’élaboration de l’algèbre en Inde, dans le monde arabe et en Italie.
  • Simon Decaens (Université Paris Diderot, SPHERE)
    The history of American abstract algebra, two accounts by E. T. Bell and G. Birkhoff.
    In 1938, E. T. Bell presented « modern abstract algebra » as a very recent trend in America. Although « practically all German » in its history, it was carried by a american « vigorous young school ». In this talk, I would like to discuss two different images of this history of an American abstract algebra. First, we will focus on Bell’s history of algebra in the 1930s. We will see how his specific way of presenting the develoment of mathematics by « abstraction » is linked to his definition of abstract algebra as a theory of structures. In a second part, we will use historical papers by G. Birkhoff from the 1970s to look at the same issue from an other point of view. In particular, in both historical presentations, we will question the use of national categories and their link to the history of algebra.

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15 février
Le transfert de connaissances mathématiques entre l’Occident et l’Asie orientale : des études de cas de la fin de la dynastie des Ming (Chine) à l’ère Taisho (Japon)
Séance organisée par Marion Cousin (Université Paris Diderot, SPHERE)

Le transfert scientifique de l’Occident vers l’Asie orientale et ses dynamiques ont souvent été étudiés par les historiens des mathématiques, en particulier le transfert vers la Chine. Dans cette session, nous mettrons en évidence quatre approches spécifiques du sujet, en présentant quatre études de cas clairement définies concernant les cas chinois et japonais. Cela nous permettra d’avoir une compréhension générale mais précise des dynamiques de ce transfert et de souligner les contrastes entre l’intégration des mathématiques occidentales en Chine et au Japon. X. Zhou s’intéressera aux premiers contacts entre l’Asie orientale et les mathématiques jésuites, et aux relations entre les connaissances traditionnelles et celles importées, grâce à une étude de cas sur une procédure mathématique dans un ouvrage du début du 17e siècle. Z. Chen abordera l’acceptation/le rejet des connaissances occidentales en astronomie et en mathématiques dans le cercle académique des confucianistes entre la fin du 18e siècle et le début du 19e siècle. Puis, Z. Chen et M. Cousin proposerons une discussion sur l’introduction du symbolisme occidental, dans le cas chinois aussi bien que dans le cas japonais, avant que M. Cousin ne parle de l’évolution du langage mathématique japonais au 19e siècle. H. Kümmerle fermera la session avec l’approche institutionnelle, en analysant l’institutionnalisation de la recherche mathématique dans les universités japonaises durant l’ère Taishō (1912-1926).

  • 9:30-9:40 Introduction
  • 9:40–10:40 ZHOU Xiaohan (Univ. Paris Diderot, SPHERE, & SAW Project)
    Comment les savants chinois ont-ils abordé les procédures mathématiques occidentales et les méthodes traditionnelles qui leur sont similaires ? Une étude de cas sur la méthode de la fausse position double au début du 17e siècle.
    Dans les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques datant du Ier siècle ap. JC, il existe un chapitre appelé « Excédent et déficit » (ying buzu), contenant 20 questions et les procédures détaillées pour les résoudre. Par la suite, de nombreux savants ont effectué des commentaires, des sous-commentaires, des « brouillons détaillés » (annotations sur les procédures et leurs précédents commentaires), des explications, etc. sur cet ouvrage. Durant la dynastie des Ming (1368-1644), la méthode « excédent et déficit » était toujours l’un des sujets principaux des travaux mathématiques dans la continuité des Neuf chapitres et de nombreuses questions analogues furent ajoutées. Au début du XVIIe siècle, l’Epitome Arithmeticae Practicae de Christophorus Clavius (1538-1612) fut introduit en Chine par Li Zhizao (1565-1630) et Matteo Ricci (1552-1610). Mais cet ouvrage n’est pas une simple traduction littérale : Li compile aussi des questions d’autres travaux mathématiques et les y introduit. Ainsi, on peut se demander comment les savants chinois traitent les méthodes mathématiques occidentales grâce à ce point de vue (raisonnement), en particulier lorsque ceux qui introduisent ces méthodes sont face à une procédure qui a son homologue dans le contexte mathématique chinois, comme la méthode de fausse position double. Li considère que la méthode traditionnelle de fausse double position est un peu moins ingénieuse que la méthode occidentale. Il applique la méthode occidentale afin de donner une réponse alternative à la question traditionnelle. Quoi qu’il en soit, les deux méthodes étaient données dans le canon traditionnel. Est-ce que Li ignorait cela ou a-t-il simplement décidé d’ignorer la méthode traditionnelle parce qu’il préférait la méthode occidentale ? Concernant cette méthode, quelles sont réellement les nouvelles connaissances (non présentes dans les mathématiques traditionnelles) introduites par Li et Ricci en Chine ? Est-ce que Li et Ricci ont utilisé la classification traditionnelle pour restructurer le travail de Clavius ? Et, étant donné que le calcul manuel au stylo est introduit pour la première fois dans cet ouvrage, quelle différence de pratique avec le calcul traditionnel à l’aide des baguettes, mais aussi quelles continuités avec les pratiques traditionnelles restantes sont représentées dans la méthode de fausse position double ? Telles sont les questions que je souhaite aborder dans cette présentation.
  • 11:00–12:00 CHEN Zhihui (CNRS, SAW Project)
    L’attitude des savants confucéens face aux connaissances occidentales en astronomie et en mathématiques au début du 19e siècle — une étude des examens civils et des correspondances.
    Il existe beaucoup d’études sur l’acceptation des connaissances occidentales en mathématiques et en astronomie par les savants de la première moitié de la dynastie des Qing. Dans cette présentation, je m’intéresserai principalement aux examens civils et aux correspondances. J’étudierai d’une part les débats sur les précessions que l’on trouve dans les correspondances datant des ères Qianlong (1736-1795) et Jiaqning (1796-1820), période aussi appelée Quian-Jin, par exemple celles de Jiang Sheng (1721-1799), Qian Daxin (1728-1804), Sun Xingyan (1753-1818) et Ling Tingkan (1757-1809). D’autre part, je m’appuierai sur l’exemple de l’examen provincial de la Province de Jiangnan en 1804 pour déterminer pourquoi et comment l’examinateur Dai Junyuan (1746-1840) a introduit des questions sur les connaissances astro-mathématique dans un examen rigide qui était avant exclusivement consacré aux théories néo-confucéennes, et pour analyser les réponses des candidats et les critères de sélection. Plutôt que de se baser sur les traités, ces cas révèlent l’attitude des savants Qian-Jian face aux connaissances astro-mathématiques occidentales dans une nouvelle perspective.
  • 13:15–14:15 Marion Cousin (SPHERE & SAW Project)
    Ecrire les mathématiques occidentales : langage mathématique et symbolisme dans les manuels de l’ère Meiji (1868-1912).
    Au Japon, l’introduction des mathématiques occidentales est engagée plus tardivement qu’en Chine, lors du mouvement général de modernisation du pays qui caractérise l’ère Meiji (1868-1912). Avec le Décret sur l’éducation (gakusei 学制), le gouvernement impose l’enseignement exclusif des mathématiques occidentales et l’abandon des pratiques traditionnelles (wasan 和算). Etant donné qu’il n’existe aucun ouvrage japonais sur ce nouveau sujet, les auteurs doivent rapidement produire des manuels sur les mathématiques basés sur les ouvrages européens et américains, mais écrits en japonais.
    Dans cette présentation, je m’intéresserai au langage employé dans ces manuels de mathématiques. Nous verrons qu’en analysant de manière méthodique l’évolution des différents aspects du langage mathématique japonais (au niveau culturel, au niveau de la formulation, et avec des analyses purement linguistiques – c’est-à-dire sur la syntaxe et sur la terminologique), il est possible de mettre en évidence que le processus d’intégration des connaissances occidentales dans la culture mathématique japonaise est un processus complexe en plusieurs étapes, durant lesquelles ont peut voir par exemple les aspects du langage mathématique moderne se fixer peu à peu. Ces analyses révèlent aussi les contrastes qui existent entre les différents domaines des mathématiques d’une part, et entre le cas japonais et le cas chinois d’autre part, ce que je soulignerai dans cette présentation.
  • 14:30–15:30Harald Kümmerle (Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg)
    L’institutionnalisation des mathématiques supérieures dans le Japon de l’ère Taishô (1912-1926) : le point de vue organisationnel.
    Le début de l’ère Taishō coïncide avec un essor de la recherche mathématique au Japon. Cela est déjà bien connu dans la littérature secondaire et peut être facilement vérifié grâce aux indicateurs quantitatifs (par exemple le nombre d’articles de recherche par an). Néanmoins, les développements après le début de l’ère Taishō n’ont pas été suffisamment examinés, et nous sommes face à un récit encore truffé de discontinuités et d’explications contradictoires.
    Dans cette présentation, une analyse des institutions dans lesquelles la recherche mathématique a lieu sera menée, centrée sur les structures organisationnelles. Même si toutes les institutions importantes (les trois universités impériales à Tōkyō, à Kyōto et à Tōhoku, la Société mathématico-physique de Tōkyō et l’Académie des sciences) ont été établies durant l’ère Meiji (1868-1912) et si aucune autre unité indépendante de cette taille n’émerge avant l’ère Shōwa (1926-1989), leurs relations et leur importance dans la communauté de recherche mathématique dans son ensemble changent dramatiquement entre ces deux périodes. En examinant ces changements, je donnerai un aperçu de l’histoire des mathématiques au Japon en rapport avec le contexte des changements sociétaux et économiques rapides qui caractérisent l’ère Taishō. De plus, les contributions des personnages clefs comme Fujisawa Rikitarō (1861-1933), Hayashi Tsuruichi (1873-1935) and Takagi Teiji (1875-1960) seront isolés les uns des autres et replacés dans leurs contextes.

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7 mars
Approches historiques de l’histoire de l’analyse indéterminée (in English)
Séance organisée par I. Smadja, A. Keller, K. Chemla (CNRS, SPHERE, & projet SAW) et le groupe SAW, dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World".

  • Ivahn Smadja (Université Paris Diderot, SPHERE & SAW)
    Sur deux conjectures qui ont façonné l’historiographie de l’ analyse indéterminée  : Strachey, Chasles et les sources sanskrites.
    This paper is part of a research project on the historiography of mathematical proof in ancient traditions. Its purpose is to shed light on the various ways in which nineteenth-century European scholars attempted to make sense of Sanskrit mathematical sources dealing with indeterminate analysis. Attention will be paid to the historical processes by which these different strands interwove into a cumulative historiography of the field. The focus is on two interpretive conjectures that shaped alternative readings of an evolving corpus of texts, with significantly different emphases and viewpoints.
    The British scholar and EIC servant Edward Strachey first identified a consistent algebraic theory in Bhāskara’s Bīja-gaṇita, which he translated from a seventeenth-century Persian manuscript. While reading his sources through the lens of the Euler-Lagrange theory of periodic continued fraction expansions for quadratic irrationals, he offered an insightful interpretation of the so-called cakravāla, or « cyclic method ». Two decades later, in the context of his investigations on the historiography of geometry, the French geometer Michel Chasles delved into Henry Thomas Colebrooke’s translations of Bhāskara and Brahmagupta, from the Sanskrit original, which had become authoritative all over Europe in the meantime. While working out an overall interpretation of Brahmagupta’s theory of quadrilaterals, Chasles incidentally spotted a geometrical construction which opened the way to a geometrical solution of the indeterminate équation Cx2±A=y2. He conjectured that this geometrical way may have been the Sanskrit path to indeterminate analysis. Furthermore, on the basis of textual reconstruction, he supplemented his rigorous interpretive conjecture with a more sweeping historical assumption about a possible transmission of this geometrical approach to algebra, from Sanskrit to European mathematics, through the Arabs and Fibonacci. Owing to further scholarship by Boncompagni, Woepcke and others, the wheat would be sorted out from the chaff.
  • Karine Chemla (CNRS, SPHERE, & projet SAW)
    Remarques sur l’historiographie du théorème des restes chinois aux XIXe et XXe siècles.
    Dans l’ouvrage Jottings on the science of the Chinese. Arithmetic (abrégé par la suite en Jottings), que le missionnaire protestant Alexander Wylie a publié en 1852, il présente pour la première fois à un public européen les éléments d’une histoire de l’analyse indéterminée en Chine. Son ouvrage inclut également l’ébauche d’une comparaison avec des sources sanskrites. Ulrich Libbrecht a analysé la réception de cette partie du livre de Wylie, en démontrant comment il avait été mal traduit et donc mal interprété. De plus, Ulrich Libbrecht a étudié la contribution la plus importante en Chine dans ce domaine, dans le livre des mathématiques du 13e siècle de Qin Jiushao. Mon intervention se propose d’examiner les principes historiographiques qui ont joué un rôle prépondérant dans l’analyse de l’ouvrage de Qin Jiushao que proposent ces diverses publications, et la part prise par le sujet de l’analyse indéterminée dans les historiographies européennes des mathématiques de la Chine ancienne et de l’analyse indéterminée.
  • Agathe Keller (CNRS, SPHERE & SAW Project)
    Détricotage du kuṭṭaka de Libbrecht.
    Dans le Chapitre 14 de son Chinese Mathematics in the Thirteenth Century. The Shu-shu chiu-chang of Ch’in Chiu-shao publié en 1973, Ulrich Libbrecht discute et propose une reconstruction de ce qui est, dans les sources sanskrites, tout à la fois un algorithme et le problème qu’il résout : le kuṭṭaka (pulvérisateur). Par la suite, dans le Chapitre 18, il compare cet algorithme reconstruit avec ce qu’il nomme « la Règle du Ta-yen ». Cette présentation observera les fondements et les sources sur lesquelles repose la reconstruction de Libbrecht, dans l’espoir d’éclaircir comment il construit ses comparaisons et comment il comprenait les objets arithmétiques et algébriques des sources sanskrites avec lesquelles il travaillait.

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4 avril
Le travail mathématique sur les unités de mesure.
Séance organisée dans le cadre du projet ERC SAW "Mathematical Sciences in the Ancient World" par Christine Proust (CNRS, SPHERE & SAW) avec les membres du projet SAW.

Cette session présente plusieurs études de cas, de contextes et d’époques très différentes, qui montrent comment le travail mathématique sur les unités de mesure est une partie intégrante, et parfois essentielle, de l’élaboration mathématique. En particulier, les études de cas analysent la façon dont la prise en compte des unités de mesure modifie la compréhension des systèmes numériques et des fractions utilisées dans des traités ou des manuels anciens ou actuels. Les exposés montrent également que, en s’intéressant à des éléments mathématiques souvent négligés, les unités de mesure, on ouvre des possibilités nouvelles de discussion sur les mathématiques pratiquées dans certains métiers, les méthodes de quantification dans des sociétés sans écriture, ou les mathématiques enseignées aujourd’hui.

  • 9:30-11:00 Marc Moyon (Université de Limoges) & Maryvonne Spiesser (Université Paul Sabatier de Toulouse)
    Surface de rectangles et unités de mesure chez Léonard de Pise (13e siècle)
    Nous centrons notre travail sur le premier chapitre de la Practica Geometriae de Fibonacci, dans lequel l’auteur propose de calculer la surface de rectangles étant données leurs dimensions. Si les algorithmes utilisés sont élémentaires, leur mise en œuvre l’est un peu moins. En effet, l’objectif de Fibonacci est bien de pouvoir calculer ces surfaces quelles que soient les unités et sous-unités de mesure utilisées. Nous détaillons donc ici une ’série de problèmes’ réfléchie à partir desdites unités pour mettre en évidence l’utilisation des différents outils mathématiques, et notamment des fractions, de l’auteur pisan.
  • 11:30-13:00 Thomas Morel (Laboratoire de Mathématiques de Lens, Université d’Artois)
    Les unités de mesure en géométrie souterraine (XVIe-XVIIIe).
    La géométrie souterraine était une discipline mathématique pratique visant à améliorer, planifier et faciliter l’exploitation des mines. Elle s’est principalement développée à partir du XVIe siècle dans les États-miniers de l’espace germanophone. Ces régions possédaient donc des systèmes juridico-techniques particuliers, ce qui implique notamment des unités de mesures spécifiques. Dans une première partie, je proposerai un aperçu des unités de mesures utilisées et décrites aussi bien dans le De Re Metallica de G. Agricola que dans divers statuts miniers d’Europe centrale. Dans un second temps, j’expliquerai comment les géomètres souterrains (Markscheider) manipulaient ces unités pour la résolution de divers problèmes (litige de propriété, calculs de direction, ...). J’étudierai dans un troisième temps deux exemples spécifiques de normalisation ayant eu lieu à la fin du XVIIIe siècle en Saxe : la détermination de la toise (Lachter) et la standardisation du volume et de la forme des baquets (Kübel) de mines.
  • 14:00-15:30 Eric Vandendriessche (CNRS, SPHERE)
    Estimations des quantités d’ignames dans les îles Trobriand.
    Comme très souvent en Mélanésie (Pacifique sud), la culture des jardins est le principal mode de subsistance des Trobriandais de Papouasie-Nouvelle-Guinée. Parmi les tubercules cultivés dans cette société, les ignames ont une place primordiale, et les performances individuelles pour leur production sont socialement valorisées. Après la récolte, chaque jardinier organise sa production d’ignames en un « tas » de forme conique, préparant ainsi un moment ritualisé dont l’enjeu est de mesurer et de comparer les productions de chacun. Dans un premier temps, je décrirai la méthode employée par les Trobriandais qui réalisent ces mesures à l’aide d’un système de numération et de mesure traditionnel. Dans un second temps, nous verrons que des unités de mesure corporelles permettent aux Trobriandais d’estimer - avant le ‘rituel’ de comptage des ignames - la quantité de tubercules contenue dans chaque tas. Des paris sont alors organisés sur la base de ces estimations.
  • 16:00-17:30 Charlotte de Varent (Projet SAW & SPHERE)
    Apports de la diversité de systèmes métrologiques anciens à l’enseignement aujourd’hui : réflexion croisée avec les manuels scolaires de CM2.
    J’examinerai le statut des unités de mesure dans les séquences d’introduction au calcul de l’aire du rectangle en CM2. Je croiserai cette approche des unités de mesure avec d’autres systèmes métrologiques, provenant des sources en sanskrit, chinois et cunéiforme. Je me servirai de cet exemple géométrique pour questionner l’introduction de la métrologie dans l’enseignement élémentaire des mathématiques.

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9 mai
Les fondements du calcul infinitésimal XVII-XVIIIe siècles
Séance organisée par David Rabouin

  • João Cortese (Univ. Paris Diderot, SPHERE)
    Pascal and the nature of indivisibles.
    In the text De l’esprit géométrique, Pascal considers the nature of "indivisibles". Following the definitions of the fifth book of Euclid’s Elements, he considers as homogeneous those magnitudes which, being sufficiently multiplied, can surpass one another. This is not the case for indivisibles with regards to their magnitudes, therefore they are heterogeneous. On the other hand, in the works on the cycloid Pascal used a "method of indivisibles" in which one finds quantities "smaller than any given one", that are in fact … divisibles ! Should we agree with L. Carnot that seventeenth century hypothesis about indivisibles are "absurd", but that we shall consider them as "moyens d’abréviation" (Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 1813) ? Modern scholars have argued that Pascal’s indivisibles are not contradictory, provided we don’t consider them literally (Descotes 2001, 2015), or that Pascal’s "indivisibles" are in fact infinitesimals (Malet 1996). In this context, I will discuss the relations between Pascal’s reflection on "indivisibles" and his mathematical practice.
  • R. Arthur (Mc Master University, Canada)
    Leibniz’s infinitesimals and their interpretation.
    In this paper I endeavour to give a historically accurate presentation of how Leibniz understood his infinitesimals, and how he justified their use. He called them fictional or "syncategorematic" terms, by which he meant that such terms could be used to express truths even though there are no infinitesimals, if these are understood as actually infinitely small parts of the continuum. I argue that Leibniz’s justification of their use based on the Archimedean axiom is surprisingly rigorous, and not susceptible to the usual criticisms ; but that their status as fictions does not make them methodologically dispensable. I defend this reading against criticisms of the syncategorematic interpretation given in papers by Katz, Sherry and numerous co-authors, who see Leibniz’s methods rather as partial anticipations of modern infinitesimal methods achieved using Robinson’s Nonstandard Analysis.
  • Sandra Bella (Université de Nantes)
    L’appropriation du calcul infinitésimal leibnizien à l’Académie des Sciences.
    En 1684, Leibniz rend publiques les règles de son calcul dans un célèbre article, "Nova Methodus pro maximis et minimis". Le calcul tarde à se diffuser, et ce ne sont que quelques savants (essentiellement Leibniz et les frères Bernoulli) qui publient des articles dans lesquels ils utilisent le nouveau calcul pour résoudre des problèmes concrets dits « physico-mathématiques ». En France, la réception du calcul débute vers 1691. Un groupe de savants, dont les acteurs les plus significatifs sont Guillaume de l’Hospital (1661-1704) et Pierre Varignon (1654-1722), va s’initier à ce nouveau calcul. Le début de cet apprentissage n’est qu’une affaire pour l’essentiel privée entre ces savants. En 1693, le Marquis de l’Hospital devient membre de l’Académie Royale des Sciences et lit les premiers mémoires concernant des problèmes mathématiques résolus à l’aide du calcul différentiel. Il introduit ainsi officiellement l’algorithme au sein de l’institution. Quelques académiciens sont plutôt hostiles à ce nouveau calcul, mais ce n’est qu’à partir de 1700 que Michel Rolle (1652-1719) lance le débat sur le bien-fondé de l’utilisation des infiniment petits. Si l’histoire de ce débat a déjà été analysé par des historiens tels que Michel Blay et Paolo Mancosu, nous souhaitons cependant y revenir pour cerner quels ont été les enjeux de sa genèse et son déroulement, qu’ils soient épistémologiques ou politiques.
  • WANG Xiaofei (Université Paris Diderot, SPHERE)
    Lagrange’s thoughts on the foundation of analysis.
    At the turn of the 18th century, Lagrange published two important works on analysis, or rather, as he called it, on the new calculus, and its applications to geometry and mechanics, but these works bore different titles. Respectively, they are the Théorie des fonctions analytiques in 1797, and the Leçons du calcul des fonctions in 1801. The latter was conceived as commentary and supplement to the former. In the Théorie, Lagrange rejected the conceptualizations of all his predecessors because of their use of infinitely small quantities or vanishing quantities. By contrast, he relied on the method of developing the functions into series, where forming the derived functions. As a result, all calculations are executed on functions instead of infinitely small quantities. He also applied these functions to the problems of geometry and mechanics. The last step he planned is to show the identity of this « calcul des fonctions » with the differential calculus, although this plan was abandoned for the reason of the length of the book. According to my study on these works, I suggest that Lagrange, not only offered a new method for exposing the principles of the differential calculus, but proposed an new "theory of functions", which comprehended the differential calculus and the integral calculus as parts, so to join them together with algebra. In my talk, I will show how Lagrange reduced the differential calculus to algebra, so as to connect all parts of "analysis" as a whole.



13 juin (demi-journée)
Sur les équations algébriques
Séance organisée par Sara Confalonieri (Bergische Universität Wuppertal) et Emmylou Haffner

  • Sara Confalonieri (Bergische Universität Wuppertal)
    Tbc
  • Massimo Galuzzi (Università di Milano)
    The theorem of Alexandre Joseph Hidulphe Vincent.
    The Eléments d’algèbre of Pierre Louis Marie Bourdon, a famous author of textbooks, are an important manual that has had countless editions and translations since the first edition of 1817 ([7]).
    In the Avertissement at the beginning of the sixth edition Bourdon observes that

    . . . j’y ai fait plusieurs am´eliorations de d´etail et quelques additions dont quelque-unes sont assez importantes, er que je dois en grande partie à M. Vincent, mon gendre et mon ami : je vais indiquer les principales.1

    Among the additions and improvements there is ". . . une note fort importante sur la resolution des équations numériques", written by Vincent, who is not mentioned explicitly as the author, which is aimed to “perfectionner la méthode de Lagrange, au moyen des principes dus à M. Budan des Boislaurent."
    This note, which will then be published by the same Vincent with some modifications in [13] and [14], will no longer appear in the successive editions of Bourdon’s manual, substituted by the famous result of Sturm, announced in 1829 and given in complete form in 1835.2
    Of course Sturm’s theorem has an incomparable elegance and has the possibility to be reformulated and generalized in many very different mathematical contexts.3 3 But from the computational point of view the result of Vincent is comparable to it or even better. Consequently after the rediscovery of Uspensky ([12]), mainly thanks to Akritas, it has become an important tool of modern computer algebra.4 And the story of his survival and of the rediscovery of its value is not uninteresting. A good example of the fact that the development of mathematics can give new life to what seemed destined to oblivion.
    1 See [8, p. v].
    2 See [10] for the notes of Sturm. To look at the difference in Bourdon successive manuals, see for example [9, p. vj], where he claims to have exposed "avec tout le soin possible le théorême de M. Sturm, et ses applications à la résolution d’une équation mumérique quelconque."
    3 See for example [11].
    4 Among the many works of Akritas, I just mention [1] and [2].
    Références :
    [1] A. G. Akritas. Elements of computer algebra with applications. John Wiley and Sons, New York ecc., 1989.
    [2] A. G. Akritas. Vincent’s theorem of 1836 : overview and future research. Journal of mathematical sciences, 168(3):309–325, 2010.
    [3] A. Alesina and M. Galuzzi. A new proof of Vincent’s theorem. L’Enseignement mathématique, 44:219–256, 1998.
    [4] A. Alesina and M. Galuzzi. Addendum to the paper ”A new proof of Vincent’s theorem”. L’Enseignement mathématique, 45:379–380, 1999.
    [5] A. Alesina and M. Galuzzi. Vincent’s theorem from a modern point of view. In [6], pages 179–191, 2000.
    [6] R. Betti and F. W. Lawvere, editors. Categorical Studies in Italy, Palermo, 2000. Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, serie II - n. 64.
    [7] P. L. M. Bourdon. Eléments d’Algèbre. Mme Ve Courcier, Imprimeur-Libraire, Paris, 1817.
    [8] P. L. M. Bourdon. Eléments d’Algèbre. Bachelier père et fils, Paris, sixième edition, 1831.
    [9] P. L. M. Bourdon. Eléments d’Algèbre. Bachelier, Paris, septième edition, 1834.
    [10] J. C. Pont (in collaboration with F. Padovani), editor. Collected Works of Charles François Sturm. Birkäuser, Basel-Boston-Berlin, 2009.
    [11] H. Synaceur. Corps et Modèles. Essai sur l’histoire de l’algèbre réelle. Vrin, Paris, 1991.
    [12] J. V. Uspensky. Theory of Equations. Mc Graw-Hill, New York, 1948.
    [13] A. J. H. Vincent. Sur la résoluton des équations numériques. Mémoires de la Société Royale des sciences, de l’agriculture et des arts, de Lille, pages 1–34, 1834.
    [14] A. J. H. Vincent. Sur la résoluton des équations numériques. Journal de mathématiques pures et appliquées, 1:341–372, 1836.

  • François Lê (Université d’Artois)
    L’équation aux neuf points : de Hesse à Weber
    Dans les années 1840, Otto Hesse publie une série d’articles sur les courbes cubiques, montrant en particulier que toutes ces courbes contiennent neuf points d’inflexion. Suite à une suggestion de Jacobi, Hesse étudie dans la foulée une certaine équation algébrique de degré 9, appelée "équation aux neuf points." Ce n’est qu’à la toute fin des années 1860 que cette équation sera reprise par d’autres mathématiciens, en tant qu’exemple privilégié des "équations de la géométrie", famille d’équations toutes liées à des configurations géométriques particulières, étudiées en particulier par Camille Jordan, Alfred Clebsch et Felix Klein, et donnant lieu à des techniques de résolution bien particulières liées à une certaine compréhension intuitive de la théorie des substitutions. Le but de l’exposé est de décrire les activités liées aux équations de la géométrie ; l’accent sera surtout porté sur l’équation aux neuf points, dont je chercherai à décrire le rôle particulier qu’elle a occupé dans la deuxième moitié du 19e siècle, depuis les écrits de Hesse jusqu’à sa place dans le Lehrbuch der Algebra de Heinrich Weber.

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